Question

Вычислите сумму 1/2x4+1/4x6+...1/2n(2n+2)

Answer 1

сначала заметим что

1/2n(2n+2) = 1/4 * 1/n(n+1) = 1/4 *(1/n - 1/(n+1))

1/n(n+1) = (n + 1 - n) = (n+1)/n(n+1) - n/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)  

1/2x4+1/4x6+...1/2n(2n+2) = 1/4*( 1/1*2 + 1/2*3 + .....+ 1/n(n+1)) = 1/4*(1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ..... + 1/n - 1/(n+1)) = 1/4 *( 1 - 1/(n+1)) = 1/4 * (n+1-1)/(n+1) = 1/4*n/(n+1) = n/(4(n+1))

Answer 2

Для вычисления суммы ряда 1/2x4 + 1/4x6 + ... + 1/2n(2n+2), мы можем использовать метод математической индукции. Давайте рассмотрим этот процесс пошагово.

Шаг 1: Проверка формулы для n=1

Начнем с проверки формулы для n=1. Ряд состоит только из одного слагаемого: 1/2 * 4. Вычислим его значение:

1/2 * 4 = 2

Таким образом, формула верна для n=1.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что формула верна для некоторого k, то есть сумма первых k слагаемых равна:

1/2 * 4 + 1/4 * 6 + ... + 1/2k(2k+2)

Шаг 3: Доказательство для n=k+1

Теперь докажем, что формула верна для n=k+1. Добавим следующее слагаемое к сумме:

1/2 * (k+1)(2(k+1)+2) = (k+1)(k+2)

Теперь объединим это слагаемое с предыдущей суммой:

(1/2 * 4 + 1/4 * 6 + ... + 1/2k(2k+2)) + (k+1)(k+2)

Мы можем заметить, что первая часть этой суммы является суммой для n=k, которая, согласно предположению индукции, равна:

1/2 * 4 + 1/4 * 6 + ... + 1/2k(2k+2) = k(k+1)

Подставим это значение обратно в формулу:

k(k+1) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k + k+2) = (k+1)(2k+2)

Таким образом, формула верна для n=k+1.

Шаг 4: Заключение

Исходя из результатов шага 1 и шага 3, мы можем сделать вывод, что формула верна для всех натуральных чисел n.

Таким образом, сумма ряда 1/2x4 + 1/4x6 + ... + 1/2n(2n+2) равна n(n+1) для любого натурального числа n.