Question

Решите неравенство 2/(8^х-10) ≥4/(8^х-8)

Answer 1

2/(8^x - 10)-4/(8^x - 8)≥0
8^x=a
(2/(a-10)-4/(a-8)≥0
(2a-16-4a+40)/(a-10)(a-8)≥0
(24-2a)/(a-8)(a-10)≥0
24-2a=0⇒a=12
a-10=0⇒a=10
a-8=0⇒a=8
       +              _            +                 _
--------------------------------------------------
             8              10                12
a<8⇒8^x<8⇒x<1⇒x∈(-∞;1)
10<a≤12⇒10<8^x≤12∈log(8)10<x≤log(8)12
Ответ x∈(-∞;1) U (log(8)10;log(8)12]

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала нужно найти общий знаменатель для дробей в левой и правой частях неравенства.

Заметим, что оба знаменателя являются разностью двух одинаковых степеней числа 8. Поэтому мы можем применить формулу разности квадратов для факторизации знаменателей:

8^х - 10 = (2^3)^х - 10 = 2^(3х) - 10 8^х - 8 = (2^3)^х - 8 = 2^(3х) - 8

Теперь, когда мы имеем общий знаменатель, мы можем записать неравенство в виде:

2/(2^(3х) - 10) ≥ 4/(2^(3х) - 8)

Для упрощения неравенства, умножим обе части на (2^(3х) - 10)(2^(3х) - 8):

2(2^(3х) - 8) ≥ 4(2^(3х) - 10)

Раскроем скобки:

2 * 2^(3х) - 2 * 8 ≥ 4 * 2^(3х) - 4 * 10

2^(3х + 1) - 16 ≥ 8^(3х) - 40

Теперь мы можем объединить подобные члены:

2^(3х + 1) - 8^(3х) ≥ -40 + 16

2^(3х + 1) - 8^(3х) ≥ -24

Теперь приведем оба члена к одной основе, а именно к основе 2:

(2^3)^(3х + 1) - (2^3)^(3х) ≥ -24

2^(9х + 3) - 2^(9х) ≥ -24

Теперь мы можем применить свойство степени: a^m - a^n = a^n(a^(m-n) - 1). Применим это свойство к левой части:

2^(9х) * (2^3 - 1) ≥ -24

Упростим:

8 * 2^(9х) ≥ -24

Теперь разделим обе части на 8:

2^(9х) ≥ -3

Так как основа степени 2 всегда положительна, то неравенство выполняется для любых значений х.

Таким образом, решением данного неравенства является множество всех действительных чисел.

Answer 3

Для решения данного неравенства, начнем с упрощения дробей:

2/(8^х - 10) ≥ 4/(8^х - 8)

Умножим обе части неравенства на (8^х - 10)(8^х - 8), чтобы избавиться от знаменателей:

2(8^х - 8) ≥ 4(8^х - 10)

Раскроем скобки:

16^х - 16 ≥ 32^х - 40

Перенесем все члены с х на одну сторону:

32^х - 16^х ≥ 40 - 16

Раскроем степени:

(2^5)^х - (2^4)^х ≥ 24

Упростим:

2^(5х) - 2^(4х) ≥ 24

Теперь заменим 2^(5х) на а и 2^(4х) на b:

a - b ≥ 24

Теперь решим это неравенство:

a - b ≥ 24

Перенесем b на другую сторону:

a ≥ b + 24

Теперь заменим a и b обратно:

2^(5х) ≥ 2^(4х) + 24

Так как основание степени одинаковое, то можно сравнивать только показатели:

5х ≥ 4х + 24

Вычтем 4х из обеих частей:

х ≥ 24

Таким образом, решением данного неравенства является любое значение х, большее или равное 24.