Question

Решите пожалуйста подробно : 2/(x^2+12x+32)>=1/(x^2+10x+24)

Answer 1

$\dfrac{2}{x^2+12x+32} \geq \dfrac{1}{x^2+10x+24} \\ \dfrac{2}{(x+4)(x+8)} \geq \dfrac{1}{(x+4)(x+6)} \\ \dfrac{2(x+6)-(x+8)}{(x+4)(x+6)(x+8)} \geq 0\\ \dfrac{2x+12-x-8}{(x+4)(x+6)(x+8)} \geq 0\\ \dfrac{x+4}{(x+4)(x+6)(x+8)} \geq 0$
   +         -            +           +
wwwwo------owwwwwowwww->
          -8       -6           -4
x∈(-∞; -8)U(-6; -4)U(-4: +∞)

Answer 2

Для решения неравенства \( \frac{2}{{x^2 + 12x + 32}} \geq \frac{1}{{x^2 + 10x + 24}} \), давайте следуем шаг за шагом:

1. Приведем обе дроби к общему знаменателю.

У нас есть два квадратных трехчлена в знаменателях, их можно факторизовать: \[ x^2 + 12x + 32 = (x + 8)(x + 4) \] \[ x^2 + 10x + 24 = (x + 6)(x + 4) \]

Теперь наше неравенство выглядит следующим образом: \[ \frac{2}{{(x + 8)(x + 4)}} \geq \frac{1}{{(x + 6)(x + 4)}} \]

2. Умножим обе стороны на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

Умножаем обе стороны на \( (x + 8)(x + 4)(x + 6)(x + 4) \):

\[ 2(x + 6)(x + 4) \geq (x + 8)(x + 4) \]

Упростим это неравенство:

\[ 2x^2 + 20x + 48 \geq x^2 + 12x + 32 \]

Переносим все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 8x + 16 \geq 0 \]

3. Теперь решим квадратное уравнение:

\[ (x - 4)^2 \geq 0 \]

Это квадратное уравнение имеет единственный корень \( x = 4 \) и он встречается с кратностью 2.

4. Так как квадратный корень неотрицателен для любого значения \( x \), то неравенство \( (x - 4)^2 \geq 0 \) выполняется для всех действительных чисел \( x \).

Таким образом, исходное неравенство \(\frac{2}{{x^2 + 12x + 32}} \geq \frac{1}{{x^2 + 10x + 24}}\) верно для всех значений \(x\).