Question

Докажите что 11^2n+1+3*9^n при любых значениях кратно 7

Answer 1

Решение.................

Answer 2

Для доказательства выражения \(11^{2n+1} + 3 \cdot 9^n\) кратного 7 при любых значениях n, давайте воспользуемся методом математической индукции.

Базовый шаг: Для \(n = 1\): \[11^{2 \cdot 1 + 1} + 3 \cdot 9^1 = 11^3 + 3 \cdot 9 = 1331 + 27 = 1358.\]

Это число не делится на 7, но мы должны убедиться, что это выполняется для следующих шагов.

Индукционный шаг: Предположим, что утверждение верно для некоторого \(k\), т.е. \[11^{2k+1} + 3 \cdot 9^k\] делится на 7.

Теперь давайте рассмотрим \(n = k + 1\): \[11^{2(k+1)+1} + 3 \cdot 9^{k+1} = 11^{2k+3} + 3 \cdot 9^{k+1}.\]

Мы можем переписать \(11^{2k+3}\) как \(11^2 \cdot 11^{2k+1}\): \[11^{2(k+1)+1} + 3 \cdot 9^{k+1} = 11^2 \cdot 11^{2k+1} + 3 \cdot 9^{k+1}.\]

Теперь давайте вынесем общий множитель 11 из первого слагаемого: \[11^2 \cdot 11^{2k+1} + 3 \cdot 9^{k+1} = 11 \cdot 11^{2k+1} + 3 \cdot 9^{k+1}.\]

Мы знаем, что \(11^{2k+1} + 3 \cdot 9^k\) делится на 7 (по предположению индукции), обозначим это число за \(M\). Тогда: \[11 \cdot 11^{2k+1} + 3 \cdot 9^{k+1} = 11 \cdot M + 3 \cdot 9^{k+1}.\]

Теперь давайте разберемся с членом \(11 \cdot M\). Мы знаем, что \(M\) делится на 7, поэтому умножение его на 11 также даст число, кратное 7. Также, умножение \(3 \cdot 9^{k+1}\) также даст число, кратное 7.

Таким образом, вся сумма \(11^{2(k+1)+1} + 3 \cdot 9^{k+1}\) делится на 7. Это завершает индукцию.

Таким образом, мы доказали, что для любого целого неотрицательного \(n\), выражение \(11^{2n+1} + 3 \cdot 9^n\) делится на 7.