Question

Для функции f найти первообразную F(x), принимающую заданное значение в указанной точке: а)f(x)=1-2sin^2 x/2, F(Pi/2)=15 б)g(x)=1/(x/2+3)^3, G(-4)=3

Answer 1

$1)\; \; F(x)=\int (\underbrace {1-2sin^2 \frac{x}{2}}_{cos(2\cdot \frac{x}{2})})dx=\int cosx\, dx=sinx+C\\\\F(\frac{\pi}{2})=15\; ,\; \; F(\frac{\pi}{2})=sin\frac{\pi}{2}+C=1+C=15\; \to \; C=14\\\\\underline {F(x)=sinx+14}$

$2)\; \; G(x)=\int \frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^3}dx=2\cdot \frac{(\frac{x}{2}+3)^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2}+C\\\\G(-4)=3\; ,\; \; G(-4)=- \frac{1}{(-2+3)^2}+C=-1+C=3\; \to \; C=4\\\\\underline {G(x)=- \frac{1}{( \frac{x}{2}+3)^2}+4}$

Answer 2

Давайте найдем первообразные для данных функций с заданными начальными условиями.

a) \( f(x) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \), \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15 \)

Для нахождения первообразной \( F(x) \) функции \( f(x) \) нужно проинтегрировать \( f(x) \) относительно \( x \):

\[ F(x) = \int f(x) \,dx \]

\[ F(x) = \int (1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)) \,dx \]

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[ F(x) = \int 1 \,dx - 2\int \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \,dx \]

Первое слагаемое даёт \( x \), а для второго нам нужно воспользоваться тригонометрической идентичностью \(\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\):

\[ F(x) = x - 2\int \frac{1 - \cos(x)}{2} \,dx \]

Упростим интеграл:

\[ F(x) = x - \int (1 - \cos(x)) \,dx \]

\[ F(x) = x - \int 1 \,dx + \int \cos(x) \,dx \]

\[ F(x) = x - x + \sin(x) + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная интегрирования. Теперь подставим \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15 \) и найдем \( C \):

\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 15 \]

\[ C = 15 - 1 = 14 \]

Итак, первообразная \( F(x) \) для \( f(x) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \) с начальным условием \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15 \) равна:

\[ F(x) = x + \sin(x) + 14 \]

б) \( g(x) = \frac{1}{(x/2 + 3)^3} \), \( G(-4) = 3 \)

Интегрируем функцию \( g(x) \):

\[ G(x) = \int \frac{1}{(x/2 + 3)^3} \,dx \]

Сделаем замену переменной \( u = x/2 + 3 \), тогда \( dx = 2du \):

\[ G(x) = 2\int \frac{1}{u^3} \,du \]

\[ G(x) = 2\int u^{-3} \,du \]

\[ G(x) = 2 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C_1 \]

\[ G(x) = -\frac{1}{u^2} + C_1 \]

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

\[ G(x) = -\frac{1}{(x/2 + 3)^2} + C_1 \]

Теперь подставим \( G(-4) = 3 \) и найдем \( C_1 \):

\[ G(-4) = -\frac{1}{(-4/2 + 3)^2} + C_1 = 3 \]

\[ -\frac{1}{(0 + 3)^2} + C_1 = 3 \]

\[ -\frac{1}{9} + C_1 = 3 \]

\[ C_1 = 3 + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} \]

Итак, первообразная \( G(x) \) для \( g(x) = \frac{1}{(x/2 + 3)^3} \) с начальным условием \( G(-4) = 3 \) равна:

\[ G(x) = -\frac{1}{(x/2 + 3)^2} + \frac{28}{9} \]