Question

Решить неравенство 4^x-2^(x+1)-8>0

Answer 1

Использованы свойства степени, метод интервалов

Answer 2

Чтобы решить неравенство 4^x - 2^(x+1) - 8 > 0, нужно использовать алгебраические методы. Давайте разберемся с этим поэтапно.

Шаг 1: Приведите неравенство к более удобному виду, если это возможно. В данном случае мы можем заметить, что 4^x можно записать как (2^2)^x, что равно 2^(2x). Тогда неравенство примет вид:

2^(2x) - 2^(x+1) - 8 > 0.

Шаг 2: Примените свойства степеней для объединения двух слагаемых с базой 2. Мы можем выразить оба слагаемых с базой 2 с использованием одного и того же показателя степени:

2^(2x) - 2 * 2^x - 8 > 0.

Шаг 3: Для удобства замените 2^x на переменную, например, пусть u = 2^x. Тогда неравенство станет:

u^2 - 2u - 8 > 0.

Шаг 4: Решите квадратное уравнение u^2 - 2u - 8 = 0. Для этого можно использовать факторизацию или квадратное уравнение. Факторизация не работает в данном случае, так что воспользуемся квадратным уравнением:

u^2 - 2u - 8 = 0.

Шаг 5: Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Дискриминант (D) равен b^2 - 4ac. В данном случае a = 1, b = -2 и c = -8:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

Так как D положительное, у нас есть два действительных корня.

Шаг 6: Найдите корни квадратного уравнения, используя формулу корней:

u = (-b ± √D) / (2a).

u = (-(-2) ± √36) / (2 * 1) = (2 ± 6) / 2.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для u: u1 = (2 + 6) / 2 = 4 и u2 = (2 - 6) / 2 = -2.

Шаг 7: Используйте эти значения, чтобы разделить область числовой прямой на интервалы и определить, где неравенство выполняется. Подставьте значения u1 = 4 и u2 = -2 обратно в u = 2^x:

2^x = 4 и 2^x = -2.

Шаг 8: Решите каждое из этих уравнений относительно x. Для первого уравнения:

2^x = 4.

Используя свойства степеней, мы можем записать это как:

2^x = 2^2.

Тогда x = 2.

Для второго уравнения:

2^x = -2.

Однако, это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как 2^x всегда положительно.

Шаг 9: Проверьте значения x = 2 и отвергните x = -2. Подставьте x = 2 обратно в исходное неравенство:

4^2 - 2^(2+1) - 8 > 0.

16 - 2^3 - 8 > 0.

16 - 8 - 8 > 0.

0 > 0.

Это неравенство не выполняется при x = 2. Таким образом, решениями неравенства 4^x - 2^(x+1) - 8 > 0 являются все значения x, кроме x = 2.