Question

Решите, пожалуйста)Срочно!!! 1) а³+1 ≥ а²+а, при а ≥ -1 2) Известно,что а²+в²+с²=1, то (а-в)²+(в-с)²+(с-а)²≤3 3) (а+4)(а-8)> 4(2a-19) 4) x²+y²+8x-10y+42>0 Спасибо)

Answer 1

(а - в)² + (а - с)² + (в - с)² = а² - 2ав + в² + а² - 2ас + с² + в² - 2вс + с² =

= 2а² + 2в² + 2с² - 2ав - 2ас - 2вс =

= 2(а² + в² + с²) - 2(ав + ас +вс) =

0,5·[(а + в)² + (а + с)² + (в + с)²] = (а² + в² + с²) - (ав + ас +вс)

0,5·[(а + в)² + (а + с)² + (в + с)²]  ≥ 0 тогда

а² + в² + с² - (ав + ас +вс) ≥ 0

и

а² + в² + с² ≥ (ав + ас +вс)

Answer 2

1) Решение неравенства а³ + 1 ≥ а² + а, при а ≥ -1:

Для начала, перенесем все члены в левую часть неравенства:

а³ - а² - а + 1 ≥ 0

Заметим, что в данном неравенстве присутствует один моном третьей степени, один моном второй степени и один моном первой степени. Мы можем попытаться привести его к более простому виду, факторизуя его.

Применим следующую замену: пусть b = а². Тогда наше неравенство примет вид:

b² - b - а + 1 ≥ 0

Теперь мы можем решить это уравнение, факторизуя его:

(b - 1)(b + 1) - а + 1 ≥ 0

(b - 1)(b + 1) ≥ а - 1

Теперь заменим b обратно на а²:

(а² - 1)(а² + 1) ≥ а - 1

После раскрытия скобок получим:

а⁴ - а² + а² - 1 ≥ а - 1

а⁴ - а ≥ 0

Теперь можно заметить, что а⁴ - а ≥ 0 для любого значения а. Таким образом, исходное неравенство выполняется для любого значения а, при а ≥ -1.

2) Решение неравенства а² + в² + с² = 1, то (а - в)² + (в - с)² + (с - а)² ≤ 3:

Данное неравенство является неравенством треугольника в трехмерном пространстве. Оно означает, что сумма квадратов длин трех сторон треугольника не превышает квадрата длины его диагонали.

Используя данное неравенство, мы можем заключить, что сумма квадратов длин трех сторон треугольника (а - в), (в - с) и (с - а) не превышает 3.

3) Решение неравенства (а + 4)(а - 8) > 4(2а - 19):

Для начала раскроем скобки в левой части:

а² - 4а - 8а + 32 > 8а - 76

а² - 12а + 32 > 8а - 76

Перенесем все члены в левую часть:

а² - 12а - 8а + 32 - 8а + 76 > 0

а² - 28а + 108 > 0

Теперь проанализируем квадратное уравнение. Найдем его корни:

а = (-(-28) ± √((-28)² - 4(1)(108))) / (2(1))

а = (28 ± √(784 - 432)) / 2

а = (28 ± √352) / 2

а = (28 ± 2√88) / 2

а = 14 ± √88

Теперь мы можем рассмотреть знак выражения (а + 4)(а - 8) - 4(2а - 19) в различных интервалах:

-∞ < а < 14 - √88: Выражение отрицательно. 14 - √88 < а < 14 + √88: Выражение положительно. 14 + √88 < а < +∞: Выражение отрицательно.

Таким образом, неравенство выполняется при 14 - √88 < а < 14 + √88.

4) Решение неравенства x² + y² + 8x - 10y + 42 > 0:

Для начала, перенесем все члены в левую часть неравенства:

x² + y² + 8x - 10y + 42 - 0 > 0

x² + 8x + y² - 10y + 42 > 0

Теперь мы можем попробовать привести квадратичную формулу к более простому виду, факторизуя ее.

x² + 8x + 16 + y² - 10y + 25 + 42 - 16 - 25 > 0

(x + 4)² + (y - 5)² + 1 > 0

Теперь мы видим, что выражение (x + 4)² + (y - 5)² + 1 всегда будет положительным, так как квадраты любых чисел неотрицательны, и добавление положительного значения (1) только увеличит результат.

Таким образом, данное неравенство выполняется для любых значений x и y.