Question

При каком наибольшем значении a наименьший положительный период функции: y=cos((a^2-30)x+п/6), равен п/3

Answer 1

Я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Для решения данной задачи, мы должны найти наибольшее значение `a`, при котором наименьший положительный период функции `y = cos((a^2-30)x + π/6)` равен `π/3`.

Период функции `y = cos(kx)` равен `2π/|k|`, где `k` - коэффициент при `x` внутри функции `cos`. В данном случае, у нас есть функция `y = cos((a^2-30)x + π/6)`, поэтому коэффициент при `x` будет `(a^2-30)`.

Таким образом, чтобы найти наименьший положительный период функции, мы должны решить неравенство:

`2π/|(a^2-30)| ≤ π/3`

Для удобства решения, мы можем убрать абсолютное значение и решить два неравенства:

`2π/(a^2-30) ≤ π/3` и `-2π/(a^2-30) ≤ π/3`

Решим первое неравенство:

`2π/(a^2-30) ≤ π/3`

Умножим обе части неравенства на `(a^2-30)`:

`2π ≤ π/3 * (a^2-30)`

Раскроем скобки и упростим:

`2π ≤ πa^2/3 - 10π`

Перенесем все члены в одну сторону:

`πa^2/3 - 10π - 2π ≥ 0`

`πa^2/3 - 12π ≥ 0`

Умножим обе части неравенства на `3/π` (заметим, что `π` отлично от нуля):

`a^2 - 36 ≥ 0`

`(a-6)(a+6) ≥ 0`

Из этого неравенства следует, что `a ≤ -6` или `a ≥ 6`.

Теперь решим второе неравенство:

`-2π/(a^2-30) ≤ π/3`

Умножим обе части на `(a^2-30)`:

`-2π ≥ π/3 * (a^2-30)`

Раскроем скобки и упростим:

`-2π ≥ πa^2/3 - 10π`

Перенесем все члены в одну сторону:

`πa^2/3 - 10π + 2π ≤ 0`

`πa^2/3 - 8π ≤ 0`

Умножим обе части неравенства на `3/π` (заметим, что `π` отлично от нуля):

`a^2 - 24 ≤ 0`

`(a-√24)(a+√24) ≤ 0`

Из этого неравенства следует, что `-√24 ≤ a ≤ √24`.

Таким образом, мы получили два неравенства: `a ≤ -6` или `a ≥ 6`, и `-√24 ≤ a ≤ √24`.

Из этих неравенств следует, что наибольшее значение `a`, при котором наименьший положительный период функции `y = cos((a^2-30)x + π/6)` равен `π/3`, равно `√24`.