Question

Исследовать функции и построить график y=x^3-3x^2+4.

Answer 1

1 производная от функции равна y'(x)=3*x²-6*x равна нулю в 2 точках x1=0 (локальный min, производная меняет знак с + на -) и x2=2 (локальный max, производная меняет знак с - на +). Нули ищем путём решения квадратного уравнения. Вторая производная равна y''(x)=6*x-6, равна нулю при х3=0, при этом левее нуля она отрицательна (выпуклость), правее - положительна (вогнутость). Графики функций приложены.

Answer 2

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом: y = x^3 - 3x^2 + 4. Давайте исследуем ее функции и построим график.

Исследование функции:

Для исследования функции y = x^3 - 3x^2 + 4, мы можем рассмотреть ее производные, экстремумы, интервалы возрастания и убывания, а также поведение функции на границах области определения.

1. Производные: - Первая производная: y' = 3x^2 - 6x. - Вторая производная: y'' = 6x - 6.

2. Экстремумы: - Чтобы найти экстремумы функции, мы должны решить уравнение y' = 0. - Решая уравнение 3x^2 - 6x = 0, мы получаем два значения x: x = 0 и x = 2. - Подставляя эти значения обратно в исходную функцию, мы получаем соответствующие значения y: y(0) = 4 и y(2) = -4. - Таким образом, у функции есть локальный минимум в точке (2, -4) и локальный максимум в точке (0, 4).

3. Интервалы возрастания и убывания: - Анализируя знак первой производной, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции. - Когда y' > 0, функция возрастает, а когда y' < 0, функция убывает. - Решая неравенство 3x^2 - 6x > 0, мы получаем интервалы возрастания: (-∞, 0) и (2, +∞). - Решая неравенство 3x^2 - 6x < 0, мы получаем интервал убывания: (0, 2).

4. Поведение на границах области определения: - Функция y = x^3 - 3x^2 + 4 определена для всех действительных значений x. - Когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности, функция также стремится к положительной бесконечности. - Когда x стремится к нулю, функция стремится к значению 4.

Построение графика:

Теперь давайте построим график функции y = x^3 - 3x^2 + 4.


На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке (2, -4) и локальный максимум в точке (0, 4). Она возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), а убывает на интервале (0, 2). Когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности, функция также стремится к положительной бесконечности, а когда x стремится к нулю, функция стремится к значению 4.

Надеюсь, эта информация полезна! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.