Question

Докажите, что если a больше 0, то 4a^2+4a+1 больше или равно 8a

Answer 1

4a² + 4a + 1 ≥ 8a
4a² + 4a - 8a + 1 ≥ 0
4a² - 4a + 1 ≥ 0
(2a - 1)² ≥ 0
Неравенство верно при ЛЮБЫХ а, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Answer 2

4а² + 4а + 1 ≥ 8а
4а² + 4а + 1 - 8а = 4а² -4а + 1 = ( 2а - 1)²≥0 ч.т.д.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения, что если a больше 0, то 4a^2 + 4a + 1 больше или равно 8a, мы можем воспользоваться алгебраическими методами. Давайте разберемся подробнее.

Доказательство:

Для начала, давайте решим неравенство 4a^2 + 4a + 1 >= 8a. Для этого мы можем привести его к каноническому виду, а именно к виду 4a^2 + 4a + 1 - 8a >= 0. Сократим подобные члены: 4a^2 - 4a + 1 >= 0.

Теперь, чтобы доказать это неравенство, мы можем воспользоваться методом дискриминантов или графическим методом. Давайте воспользуемся методом дискриминантов.

Дискриминант для данного квадратного уравнения равен D = b^2 - 4ac, где a = 4, b = -4, c = 1.

Подставим эти значения и вычислим дискриминант: D = (-4)^2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, то это означает, что уравнение имеет один корень. Это означает, что у нас есть только одна точка пересечения графика уравнения с осью X.

Так как дискриминант равен нулю, то у нас есть только одно решение для уравнения 4a^2 - 4a + 1 = 0. Это означает, что график этого уравнения касается оси X в одной точке.

Теперь давайте посмотрим, где находится эта точка. Выпишем квадратное уравнение: 4a^2 - 4a + 1 = 0.

Решим это уравнение с помощью формулы для квадратного уравнения: a = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения: a = (-(-4) ± √0) / (2 * 4).

Упростим: a = (4 ± 0) / 8.

Учитывая, что дискриминант равен нулю, у нас есть только одно решение: a = 1/2.

Таким образом, мы получаем, что уравнение 4a^2 - 4a + 1 = 0 имеет одно решение a = 1/2.

Теперь давайте построим график этого уравнения, чтобы понять, что происходит при значениях a > 0.

График уравнения 4a^2 - 4a + 1:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

a = np.linspace(0, 1, 100)
y = 4 * a**2 - 4 * a + 1

plt.plot(a, y)
plt.xlabel('a')
plt.ylabel('4a^2 - 4a + 1')
plt.title('Graph of 4a^2 - 4a + 1')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.show()


Из графика видно, что уравнение 4a^2 - 4a + 1 имеет только одну точку пересечения с осью X при a = 1/2. При значениях a > 1/2 график находится выше оси X, что означает, что значение 4a^2 - 4a + 1 будет больше 0.

Таким образом, получаем, что если a больше 0, то 4a^2 + 4a + 1 больше или равно 8a.

Это доказывает, что если a больше 0, то 4a^2 + 4a + 1 больше или равно 8a.