Question

На столе стоят шесть столбиков монет. В первом столбике одна монета, во втором — две, в третьем — три, ..., в шестом — шесть. Разрешается на любые два столбика положить по монете. Можно ли за несколько таких операций сделать все столбики одинаковыми?

Answer 1

Определим текущее число монет на столе:
$1+2+3+4+5+6=21$
После каждой операции на стол добавляется по две монеты, таким образом, после k операций на столе окажется $21+2k$ монет.
Если через несколько операций все столбики станут одинаковыми, то это будет означать, что получившееся число монет $N$ будет делиться на 6: $N=6n$.
Получаем соотношение:
$21+2k=6n \\\ 21=6n-2k \\\ 21=2(3n-k)$
Правая часть равенства кратна двум, в то время как 21 - нечетное число. Противоречие. Значит, с помощью таких операций сделать все столбики одинаковыми нельзя.
Ответ: нет, нельзя