Question

Помогите решить неравенство, пожалуйста

Answer 1

Используем свойство степеней: 15^x = 3^x*5^x, 3^(x+1) = 3*3^x,
5^(x+1) =5*5^x.
Тогда исходное неравенство запишем в виде:
$\frac{3^x*5^x-3*3^x-5*5^x+3*5}{-x(x-2)} \geq 0.$
В числителе вынесем за скобки в первой паре 3^x, а во второй паре 5:
$\frac{3^x(5^x-3)-5(5^x-3)}{-x(x-2)} \geq 0.$
Ещё раз вынесем за скобки 5^x-3:
$\frac{(5^x-3)(3^x-5)}{-x(x-2)} \geq 0 .$
Определяем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
5^x-3 = 0,  5^x = 3,  $x=log_53.$ ≈ 0,682606.
3^x-5 = 0,  3^x = 5,  $x=log_35.$ ≈ 1,464974.
-x = 0, x = 0.
x-2 = 0, x = 2.

Применяем метод интервалов.
Рисуем ось Х и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль (рисунок в приложении).

Нули знаменателя 0 и 2 - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя $x=log_53.$ ≈  0,682606 и $x=log_35.$ ≈  1,464974 - закрашены, так как неравенство нестрогое. При  этом  наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось Х на 5 промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую каждому промежутку там, где удобно.

Это всё видно на рисунке в приложении.

Ответ: $0\ \textless \ x \leq log_53,$

            $log_35 \leq x\ \textless \ 2.$