Question

Имеет ли вещественное решение:

Answer 1

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} + \dfrac{x^3}{y^3} + \dfrac{y^3}{x^3} = \dfrac{x^4y^2+x^2y^4+yx^5+xy^5+x^6+y^6}{x^3y^3} = \\ \\ =\dfrac{x^4(x^2+xy+y^2)+y^4(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}=\dfrac{(x^4+y^4)(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}$



$\dfrac{(x^4+y^4)(y^2+xy+x^2)}{x^3y^3}=0 \Rightarrow \begin{cases} & (x^4+y^4)(x^2+xy+y^2)=0 \\ & x^3y^3\neq 0 \end{cases}$$\Rightarrow \begin{cases} & (x^4+y^4)(x^2+xy+y^2)=0 \\ & x\neq 0 \\ & y\neq 0 \end{cases}$$\Rightarrow \begin{cases} & \left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ x^2+xy+y^2=0 \end{array}\right. \\ & x\neq0 \\ & y\neq 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} & \left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ x^2+2\cdot x \cdot \frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=0 \end{array}\right. \\ & x\neq0 \\ & y\neq 0 \end{cases}$$\Rightarrow \begin{cases} & \left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ \left(x+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}=0 \end{array}\right. \\ & x\neq0 \\ & y\neq 0 \end{cases}$
Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю каждое из слагаемых. Значит, для первого уравнения: ($x^4=0$ и $y^4=0$)$\Rightarrow$($x=0$ и $y=0$). Но $x=0$ и $y=0$ корнями быть не могут по условию системы (ненулевой знаменатель). Для второго уравнения: ($\left(x+\frac{y}{2} \right)^2=0$ и $\frac{3y^2}{4}=0$). Корень последнего уравнения равен $y=0$, что опять же не может быть по условию системы. А это означает, что у уравнения $\left(x+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}=0$ из нашей системы корней нет.
Получается, у совокупности
$\left[\begin{array}{l} x^4+y^4=0 \\ \left(x+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}=0 \end{array}\right.$
действительных решений нет. Соответственно, и у исходного уравнения нет действительных решений (только комплексные).