Question

Помогите, пожалуйста, с алгеброй

Answer 1

Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла:
$\sin\alpha =2\sin \frac{ \alpha }{2} \cos\frac{ \alpha }{2}= \dfrac{2\sin \frac{ \alpha }{2} \cos\frac{ \alpha }{2}}{\sin^2\frac{ \alpha }{2}+\cos^2\frac{ \alpha }{2}} =\dfrac{2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}$
$\cos\alpha =\cos^2\frac{ \alpha }{2}-\sin^2 \frac{ \alpha }{2} = \dfrac{\cos^2\frac{ \alpha }{2}-\sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{\sin^2\frac{ \alpha }{2}+\cos^2\frac{ \alpha }{2}} =\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}$

1. Оценим значение тангенса:
$\frac{3 \pi }{8} \ \textless \ \frac{ \alpha }{2} \ \textless \ \frac{ \pi }{2} \\\ \mathrm{tg} \frac{3 \pi }{8} \ \textless \ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2} \ \textless \ \mathrm{tg} \frac{ \pi }{2} \\\ \dfrac{\sin \frac{ 3\pi }{4} }{1+\cos \frac{ 3\pi }{4} } \ \textless \ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2} \ \textless \ +\infty \\\ \dfrac{\frac{ \sqrt{2} }{2} }{1-\frac{ \sqrt{2} }{2} } \ \textless \ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2} \\\ \\\ \dfrac{ 1 }{ \sqrt{2} -1 } \ \textless \ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}$
$\dfrac{ \sqrt{2} +1 }{ 2-1 } \ \textless \ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2} \\\ \sqrt{2} +1 \ \textless \ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}$
Подставляем в заданное соотношение ранее выраженные синус и косинус:
$\sin \alpha -\cos \alpha =1.4 \\\ \dfrac{2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}-\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}=1.4 \\\ \dfrac{2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}-1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}=1.4 \\\ \mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}+2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}-1=1.4\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}+1.4$
$0.4\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}-2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}+1.4=0 \\\ \mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}-5\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}+6=0 \\\ (\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}-2)(\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}-3)=0 \\\ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}=2; \ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}=3$
Значение 2 не удовлетворяет оценке $\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}\ \textgreater \ \sqrt{2} +1$
Ответ: 3

2.
Оценим значение котангенса:
 $- \frac{ \pi }{4} \ \textless \ \alpha \ \textless \ 0 \\\ - \frac{ \pi }{8} \ \textless \ \frac{ \alpha}{2} \ \textless \ 0 \\\ -\mathrm{ctg} \frac{ \pi }{8} \ \textless \ \mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{2} \ \textless \ \mathrm{ctg}0 \\\ - \dfrac{ 1+\cos \frac{ \pi }{4} }{\sin \frac{ \pi }{4}} \ \textless \ \mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{2} \ \textless \ +\infty \\\ - \dfrac{ 1+\frac{ \sqrt{2} }{2} }{\frac{ \sqrt{2} }{2}} \ \textless \ \mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{2} \\\ - ( \sqrt{2} +1 ) \ \textless \ \mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{2} \\\ - \sqrt{2}-1 \ \textless \ \mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{2}$
Подставляем в заданное соотношение выражения для синуса и косинуса:
$\sin \alpha -\cos \alpha =-1.4 \\\ \dfrac{2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}-\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}=-1.4 \\\ \dfrac{2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}-1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}{1+\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}}=-1.4 \\\ \mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}+2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}-1=-1.4\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}-1.4$
$2.4\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}+2\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}+0.4=0 \\\ 6\mathrm{tg}^2\frac{ \alpha }{2}+5\mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}+1=0 \\\ D_1=5^2-4\cdot6\cdot1=1 \\\ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}= \dfrac{-5-1}{2\cdot6} =- \dfrac{1}{2} ; \ \mathrm{ctg}\frac{ \alpha }{2}=-2 \\\\ \mathrm{tg}\frac{ \alpha }{2}= \dfrac{-5+1}{2\cdot6} =- \dfrac{1}{3} ; \ \mathrm{ctg}\frac{ \alpha }{2}=-3$
Значение -2 не удовлетворяет оценке $\mathrm{ctg} \frac{ \alpha}{2}\ \textgreater \ - \sqrt{2}-1$
Ответ: -3