Question

При каких значениях параметра а, уравнение ax²+2ax+x=1 не имеет корней?

Answer 1

$ax^2+2ax+x=1\\ ax^2+x(2a+1)-1=0$

Квадратное уравнение действительных корней не имеет, если D<0

$D=(2a+1)^2+4a\ \textless \ 0\\ 4a^2+8a+1\ \textless \ 0\\ 4(a^2+2a+1)-4+1\ \textless \ 0\\ 4(a+1)^2-3\ \textless \ 0\\ \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \ \textless \ a+1\ \textless \ \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ -1-\frac{\sqrt{3}}{2} \ \textless \ a\ \textless \ \frac{\sqrt{3}}{2} -1$

Answer 2

Чтобы уравнение \(ax^2 + 2ax + x = 1\) не имело корней, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть отрицательным. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае у нас уравнение \(ax^2 + 2ax + x - 1 = 0\). Сравнивая коэффициенты, мы видим, что \(a = a\), \(b = 2a\), и \(c = 1\).

Теперь, подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

\[D = (2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (1) = 4a^2 - 4a\]

Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным:

\[4a^2 - 4a < 0\]

Вынесем общий множитель за скобку:

\[4a(a - 1) < 0\]

Таким образом, чтобы уравнение \(ax^2 + 2ax + x = 1\) не имело корней, необходимо, чтобы выражение \(4a(a - 1)\) было отрицательным. Это произойдет, когда \(a\) принимает значения в интервале \(0 < a < 1\).