Question

Sin^2*3x/4 - корень2/2=sinx-cos^2*3x/4+1

Answer 1

$sin^2\frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}=sinx-cos^2 \frac{3x}{4}+1\\\\\underbrace {sin^2 \frac{3x}{4}+ cos^2\frac{3x}{4}}_{1}-\frac{\sqrt2}{2}-1=sinx\\\\sinx=-\frac{\sqrt2}{2}\\\\x=(-1)^{n}\cdot arcsin(-\frac{\sqrt2}{2})+\pi n,\; n\in Z\\\\x=(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{4})+\pi n=(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in Z$

Answer 2

Для начала, заметим, что у нас есть несколько выражений с тригонометрическими функциями и корнями.

Для удобства, обозначим sin(3x/4) как a, а cos(3x/4) как b.

Исходное уравнение теперь выглядит следующим образом: (a^2)/4 - (sqrt(2))/2 = sin(x) - (b^2)/4 + 1.

Раскроем квадрат и упростим выражение: (a^2)/4 - (sqrt(2))/2 = sin(x) - (b^2)/4 + 1 => (a^2)/4 - (sqrt(2))/2 + (b^2)/4 - 1 = sin(x).

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим: (a^2 - 2sqrt(2) + b^2 - 4)/4 = sin(x).

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому в равенстве (a^2 + b^2)/4 = 1. Таким образом, (a^2 - 2sqrt(2) + b^2 - 4)/4 = sin(x) равносильно ((a^2 + b^2)/4) - 2sqrt(2) - 1 = sin(x).

Заметим также, что a^2 + b^2 = 4, тогда ((a^2 + b^2)/4) - 2sqrt(2) - 1 = sin(x) превращается в 1 - 2sqrt(2) - 1 = sin(x).

Упростим это выражение: -2sqrt(2) = sin(x) => sqrt(2) = -sin(x).

Теперь найдем возможные значения угла x.

Известно, что sin(x) = sqrt(2)/2 при x = π/4 или x = (5π/4).

Итак, решением исходного уравнения будет x = π/4 или x = (5π/4).