Question

1. Сумма трех чисел, образующих арифметичекскую прогрессию, равна 12, а сумма их квадратов равна 80. Найдите эти числа. 2. Пусть Sn - сумма n первых членов арифметической прогрессии (an). Найдите первый член и разность прогрессии, если: a3+a5+a8=18 и a2+a4=-2

Answer 1

1) { a+(a+d) +(a+2d) =12; a² +(a+d)² +(a+2d)² =80.
{ 3(a +d) = 12 ; a² + (a+d)² + (a+2d)² =80. {a+d =4;a² + (a+d)² + (a+d +d)² =80
{d = 4 - a ; a² + 4² +(4+(4 -a))² =80.
a² +(8 - a)²  +16 =80;
a² - 8a = 0;
a(a-8) =0;
a₁=0 ⇒d₁ =4 .
a₂=8 ⇒d₂ =-4 .
 ответ : 0 ; 4 ; 8 или   8 ;4 ;0.
*************************************************************************************
2) . Причем здесь  предложения :
Пусть Sn - сумма n первых членов арифметической прогрессии (an)
{ a₃+a₅+a₈ =18; a₂+ a₄ = - 2.
 { (a+2d) +(a+4d) +(a+7d) =18 ; (a+d) +(a+3d) = -2.
{3a+13d = 18 ; 2a +4d = - 2.  {3a+13d = 18 ; 2(a +2d) = - 2.
{3a+13d = 18 ; a = - 1 - 2d .
3( -1 -2d)  +13d = 18 ;
7d =21;
d = 3 . .
a = -1 -2d = -1 -2*3 = -7 .

ответ :  - 7 ; 3.
**************************************************************************
-7; -4 ; -1 ; 2 ; 5 ; 8;11 ;14 ......

Answer 2

Давайте решим каждое из уравнений поочередно.

1. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию:

Пусть первый член прогрессии равен a, а разность d. Тогда сумма трех чисел будет:

\[ a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d \]

Условие задачи утверждает, что эта сумма равна 12:

\[ 3a + 3d = 12 \]

Также известно, что сумма квадратов этих чисел равна 80:

\[ a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 = 80 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 80 \]

\[ 3a^2 + 6ad + 5d^2 = 80 \]

Решение системы уравнений:

Система уравнений:

\[ 3a + 3d = 12 \] \[ 3a^2 + 6ad + 5d^2 = 80 \]

Решение этой системы даст значения a и d.

2. Сумма первых членов арифметической прогрессии:

Теперь у нас есть первый член и разность прогрессии, которые мы найдем из системы уравнений.

\[ a_3 + a_5 + a_8 = 18 \]

Зная разность (d), мы можем выразить a_3, a_5 и a_8 в терминах a:

\[ a_3 = a \] \[ a_5 = a + 2d \] \[ a_8 = a + 5d \]

Подставим это в уравнение и решим:

\[ a + (a + 2d) + (a + 5d) = 18 \]

Дополнительное уравнение:

\[ a_2 + a_4 = -2 \]

Также выразим a_2 и a_4 в терминах a и d:

\[ a_2 = a - d \] \[ a_4 = a + d \]

Решение системы уравнений:

\[ a - d + a + 2d + a + 5d = 18 \] \[ (a - d)^2 + (a + d)^2 = -2 \]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения первого члена (a) и разности (d) арифметической прогрессии.