Question

Найдите первообразную для функции: y=cos(x-п/3)+e^(2х)

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Конечно, давайте найдем первообразную для данной функции:

\[y = \cos(x - \frac{\pi}{3}) + e^{2x}\]

Для нахождения первообразной каждого слагаемого нужно рассмотреть их отдельно.

1. Рассмотрим первое слагаемое \(\cos(x - \frac{\pi}{3})\):

Используем формулу для интеграла \(\cos(ax + b)\), где \(a\) и \(b\) - константы:

\[\int \cos(ax + b) \,dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C\]

В нашем случае \(a = 1\) и \(b = -\frac{\pi}{3}\), поэтому:

\[\int \cos(x - \frac{\pi}{3}) \,dx = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + C_1\]

где \(C_1\) - произвольная константа.

2. Рассмотрим второе слагаемое \(e^{2x}\):

Интеграл от экспоненты имеет вид:

\[\int e^{ax} \,dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C\]

В нашем случае \(a = 2\), поэтому:

\[\int e^{2x} \,dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C_2\]

где \(C_2\) - произвольная константа.

Теперь сложим результаты для обоих слагаемых:

\[y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} e^{2x} + C\]

где \(C\) - константа интегрирования, объединяющая обе произвольные константы \(C_1\) и \(C_2\).

Таким образом, первообразная для функции \(y = \cos(x - \frac{\pi}{3}) + e^{2x}\) равна:

\[Y(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} e^{2x} + C\]