Question

Какое из чисел -3; 0; 2 являются решениями неравенства x^2-x+2>0? Полностью решение, пожалуйста

Answer 1

Один из способов:

x^2-x+2>0

(-3)^2-(-3)+2>0

14>0 -верно,

0^2-0+2>0

2>0 -верно

2^2-2+2>0

4  >0  -верно

Каждое из чисел является решением.

Answer 2

Для того чтобы найти решения неравенства \(x^2 - x + 2 > 0\), можно воспользоваться методом интервалов или графическим методом. В данном случае, используем метод интервалов.

1. Находим корни квадратного уравнения: Решим уравнение \(x^2 - x + 2 = 0\). Для этого воспользуемся квадратным корнем: \[D = b^2 - 4ac\] \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня. Корни можно найти следующим образом: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}\]

Таким образом, у нас есть два комплексных корня, но они не являются решениями для данного неравенства.

2. Находим точку, в которой неравенство обращается в равенство: Эта точка соответствует вершине параболы \(x^2 - x + 2\), которая находится в точке \(\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)\). В данном случае, это \(\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)\).

3. Определяем знак выражения на каждом интервале: Разбиваем вещественную прямую на три интервала, используя найденные корни и точку, где неравенство обращается в равенство:

- Интервал 1: \((- \infty, \frac{1}{2})\) - Интервал 2: \((\frac{1}{2}, +\infty)\)

Теперь выбираем точку из каждого интервала и подставляем в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения.

- Для интервала 1 (например, \(x = 0\)): \[0^2 - 0 + 2 > 0 \Rightarrow 2 > 0\] - неравенство выполняется.

- Для интервала 2 (например, \(x = 1\)): \[1^2 - 1 + 2 > 0 \Rightarrow 2 > 0\] - неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство \(x^2 - x + 2 > 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, \frac{1}{2})\) и \((\frac{1}{2}, +\infty)\).

Итак, полное множество решений неравенства \(x^2 - x + 2 > 0\) - это объединение интервалов \((- \infty, \frac{1}{2})\) и \((\frac{1}{2}, +\infty)\).