Question

Найдите объем тела ,полученного вращении параболы у=х^2 от точки х=-2 до точки х=2 вокруг оси ординат

Answer 1

Как то сложно я немо такое сделать

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного вращением параболы y = x^2 вокруг оси ординат, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек или метод кольцевых пластин.

Метод цилиндрических оболочек

В этом методе мы разбиваем область вращения на бесконечно малые цилиндрические оболочки и вычисляем объем каждой оболочки. Затем мы интегрируем объемы всех оболочек, чтобы получить итоговый объем.

Шаги для использования метода цилиндрических оболочек:

1. Определите диапазон вращения параболы. В данном случае, парабола y = x^2 вращается от x = -2 до x = 2 вокруг оси ординат.

2. Выразите радиус цилиндрической оболочки в зависимости от x. Радиус цилиндрической оболочки - это расстояние от оси вращения до параболы. В данном случае, радиус r равен модулю значения x.

3. Выразите высоту цилиндрической оболочки в зависимости от x. Высота цилиндрической оболочки равна длине элементарного отрезка dx. В данном случае, высота h равна dx.

4. Вычислите объем каждой цилиндрической оболочки. Объем цилиндрической оболочки V равен площади основания, умноженной на высоту. В данном случае, V = πr^2 * h.

5. Проинтегрируйте объемы всех цилиндрических оболочек по x в заданном диапазоне. Общий объем V обозначается интегралом от -2 до 2 от функции πx^2 dx.

6. Вычислите значение интеграла, чтобы получить объем тела.

Метод кольцевых пластин

В методе кольцевых пластин мы разбиваем область вращения на бесконечно малые кольцевые пластины и вычисляем объем каждой пластины. Затем мы интегрируем объемы всех пластин, чтобы получить итоговый объем.

Шаги для использования метода кольцевых пластин:

1. Определите диапазон вращения параболы. В данном случае, парабола y = x^2 вращается от x = -2 до x = 2 вокруг оси ординат.

2. Выразите внешний радиус кольцевой пластины в зависимости от x. Внешний радиус R равен модулю значения x.

3. Выразите внутренний радиус кольцевой пластины в зависимости от x. Внутренний радиус r равен расстоянию от оси вращения до параболы. В данном случае, r = 0.

4. Выразите высоту кольцевой пластины в зависимости от x. Высота h равна dx.

5. Вычислите объем каждой кольцевой пластины. Объем кольцевой пластины V равен площади основания, умноженной на высоту. В данном случае, V = π(R^2 - r^2) * h.

6. Проинтегрируйте объемы всех кольцевых пластин по x в заданном диапазоне. Общий объем V обозначается интегралом от -2 до 2 от функции π(x^2 - 0) dx.

7. Вычислите значение интеграла, чтобы получить объем тела.

В обоих методах, после выполнения интегрирования, вы получите итоговый объем тела, полученного вращением параболы y = x^2 от x = -2 до x = 2 вокруг оси ординат.