Question

Найти наименьшее значение выражения х^2+y^2-6x+8x

Answer 1

предствим выражение в виде (x+4)^2 -16 +(y-3)^2-9

минимальное значение будет -25, когда квадраты будет равняться нулям

(в условии опечатка см. -6x +8x?) вообщем мысль ясна?

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения x^2 + y^2 - 6x + 8x, мы можем применить метод завершения квадрата.

Сначала мы можем переписать выражение в виде: x^2 - 6x + y^2 + 8x

Затем мы можем группировать переменные x вместе и переменные y вместе: (x^2 - 6x + 8x) + y^2

Далее, мы можем завершить квадрат для группы переменных x, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при x (в данном случае это -6/2 = -3): (x^2 - 6x + 9 - 9 + 8x) + y^2

Мы добавили и вычли 9, чтобы сохранить эквивалентность выражения. Теперь мы можем переписать это как: [(x^2 - 6x + 9) + 8x - 9] + y^2

Затем, мы можем сгруппировать первые три члена в квадрат: [(x - 3)^2 + 8x - 9] + y^2

Теперь у нас есть выражение вида a^2 + b, где a = (x - 3) и b = (8x - 9).

Для нахождения наименьшего значения этого выражения, мы можем рассмотреть два случая:

1) Если коэффициент при квадрате a (т.е. 1) положителен, то наименьшее значение будет достигаться, когда a = 0. В данном случае, это будет x - 3 = 0, что приводит к x = 3.

2) Если коэффициент при квадрате a (т.е. 1) отрицателен, то наименьшее значение будет достигаться, когда a = 0. В данном случае, это будет x - 3 = 0, что приводит к x = 3.

Таким образом, наименьшее значение выражения x^2 + y^2 - 6x + 8x равно 3^2 + y^2 - 6(3) + 8(3) = 9 + y^2 - 18 + 24 = y^2 + 15.