Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^3-4x^2-3x+2 на отрезке [2;5]

Answer 1

Функция   y = x³ - 4x² - 3x + 2  непрерывна на всей области определения x∈R.
Первая производная
y' = (x³ - 4x² - 3x + 2)' = 3x² - 8x - 3
3x² - 8x - 3 = 0
D = 8² - 4*3*(-3) = 64 + 36 = 100 = 10²
x₁ = (8-10)/6 = -1/3      x₂ = (8+10)/6 = 3

y' = 3(x +1/3)(x - 3)
+++++++++(-1/3)-------------(3)++++++++>  y'
                  max               min

x₁ = -1/3  - точка максимума, в интервал  [2; 5] не попадает
x₂ = 3  -  точка минимума, т.к.  y' меняет знак с '-' на '+'

Для x∈[2; 3] функция y = x³ - 4x² - 3x + 2 убывает
Для x∈[3; 5] функция y = x³ - 4x² - 3x + 2 возрастает

Поэтому наименьшим значением функции на интервале [2; 5] будет значение в точке минимума, на границах значения будут выше.

x = 3;  y = x³ - 4x² - 3x + 2 = 27 - 36 - 9 + 2 = -16

Ответ: $y_{min}(3)=-16$

Answer 2

Для поиска наименьшего значения функции y = x^3 - 4x^2 - 3x + 2 на отрезке [2;5], мы можем использовать метод дифференциального исчисления или графический метод. Начнем с графического метода.

Графический метод

Для начала, построим график функции y = x^3 - 4x^2 - 3x + 2 на отрезке [2;5].

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(2, 5, 100)
y = x3 - 4*x2 - 3*x + 2

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = x^3 - 4x^2 - 3x + 2')
plt.grid(True)
plt.show()

Построив график, мы можем найти точку на графике, где функция достигает наименьшего значения. В данном случае, нам нужно найти точку с наименьшим значением оси y.

Метод дифференциального исчисления

Другим способом нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке является использование дифференциального исчисления. Мы можем найти критические точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. Затем, мы можем проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение.

Для нахождения критических точек, найдем производную функции:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = x3 - 4*x2 - 3*x + 2
dy_dx = sp.diff(y, x)
critical_points = sp.solve(dy_dx, x)

print(critical_points)

Получим список критических точек функции на отрезке [2;5]. Затем, мы можем проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение:

values = [y.subs(x, point) for point in critical_points]
values.append(y.subs(x, 2))
values.append(y.subs(x, 5))

min_value = min(values)
print(min_value)

Таким образом, мы получим наименьшее значение функции на отрезке [2;5].

Результат

Используя графический метод или метод дифференциального исчисления, мы можем найти наименьшее значение функции y = x^3 - 4x^2 - 3x + 2 на отрезке [2;5].