Question

1) tg2x - 1 = 0 2) ctg2x - 3 = 0

Answer 1

1)tg2x=1
2x=п/4+пn,n€z
x=п/8+пn/2,n€z
2)ctg2x=3
2x=arcctg3+пn,n€z
x=1/2*arcctg3+пn/3,n€z

Answer 2

Конечно, решим данные уравнения:

1) \( \tan(2x) - 1 = 0 \) 2) \( \cot(2x) - 3 = 0 \)

Давай начнем с первого уравнения: \( \tan(2x) - 1 = 0 \).

Сначала найдем все значения \(2x\), для которых \( \tan(2x) = 1 \). Тангенс \(2x\) равен 1 при определенных углах, так как тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике.

Для нахождения угла \(2x\) найдем такой угол \( \alpha \), у которого \( \tan(\alpha) = 1 \). Обычно мы знаем, что \(\tan(45^\circ) = 1\), так что угол \(\alpha = 45^\circ\).

Однако, у нас тут работа с углами, измеряемыми в радианах, поэтому \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) радиан.

Теперь мы знаем, что \( \tan(2x) = 1 \) при \(2x = \frac{\pi}{4} + n\pi\), где \(n\) - любое целое число.

Чтобы найти все значения \(x\), нужно разделить обе стороны на 2: \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} \]

Теперь перейдем ко второму уравнению: \( \cot(2x) - 3 = 0 \).

Для нахождения значений \(2x\), при которых \( \cot(2x) = 3 \), найдем такой угол \(\beta\), у которого \( \cot(\beta) = 3 \). Котангенс также является отношением сторон в прямоугольном треугольнике, но это обратное соотношение к тангенсу.

Так как \( \cot(\beta) = \frac{1}{\tan(\beta)} \), то если \(\cot(\beta) = 3\), то \(\tan(\beta) = \frac{1}{3}\).

Обычно \(\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\), так что мы можем представить треугольник с катетами 1 и 3. Такой треугольник имеет угол \( \beta = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \).

Теперь мы знаем, что \( \cot(2x) = 3 \) при \(2x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + n\pi\), где \(n\) - любое целое число.

Чтобы найти все значения \(x\), нужно разделить обе стороны на 2: \[ x = \frac{\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}{2} + \frac{n\pi}{2} \]

Таким образом, у нас есть две последовательности значений \(x\) в зависимости от значения целого числа \(n\):

1) \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} \) 2) \( x = \frac{\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}{2} + \frac{n\pi}{2} \)

Это все возможные значения \(x\), которые удовлетворяют данным уравнениям.