Question

2cos^2 x-5 cos x+2=0 Помогите пожалуйста

Answer 1

Обозначаем cos за y и регаем как квадратное уравнение 2у^2-5у+2=о Игрик должен быть от [-1;1]

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0\). Для удобства введем замену, например, обозначим \(\cos x\) за \(t\). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2 - 5t + 2 = 0.\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В уравнении \(2t^2 - 5t + 2 = 0\) коэффициенты \(a\), \(b\), и \(c\) равны соответственно 2, -5, и 2. Подставим их в формулу:

\[t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}.\]

Вычислим подкоренное выражение:

\[t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}.\]

\[t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}.\]

\[t = \frac{5 \pm 3}{4}.\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(t\):

1. \(t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2.\) 2. \(t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}.\)

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной \(\cos x\). Подставим обратно \(t = \cos x\):

1. \(\cos x = 2.\) Однако, \(\cos x\) ограничен от -1 до 1, поэтому это решение не подходит. 2. \(\cos x = \frac{1}{2}.\)

Таким образом, единственным допустимым значением для \(\cos x\) является \(\frac{1}{2}\). Теперь найдем все углы \(x\), для которых \(\cos x = \frac{1}{2}\).

Обратите внимание, что \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\), и также \(\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\), так как \(\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta\). Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число. 2. \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi m\), где \(m\) - целое число.

Это и есть все решения уравнения \(2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0\).