Question

Очень нужна помощь!!! найдите точки экстремума и определите их характер у=х^3+3х^2+4

Answer 1

 у=х^3+3х^2+4

 у '=3х^2+6х

  3х^2+6х=0

  3х (x+6)=0

3x=0   или  x+6=0

x=0              х= -6

Проверяем промежутки

(- бесконечность; - 6)     (-6; 0)     (0; +бесконечность)

Производная на 

 (- бесконечность; - 6)    "+"   функция растёт 

   (-6; 0)                                "-"  функция  убывает

  (0; +бесконечность)      "+"   функция растёт  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции \( y = x^3 + 3x^2 + 4 \) найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю (это могут быть потенциальные точки экстремума), и затем определим их характер.

1. Найдем производную функции \( y \) по \( x \):

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6x \]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[ 3x^2 + 6x = 0 \]

Вынесем общий множитель:

\[ 3x(x + 2) = 0 \]

Из этого уравнения получаем два значения \( x \):

a) \( x = 0 \) b) \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

Это две потенциальные точки экстремума.

Теперь, чтобы определить их характер (максимум или минимум), воспользуемся второй производной.

1. Найдем вторую производную \( \frac{d^2y}{dx^2} \):

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x) = 6x + 6 \]

2. Подставим найденные значения \( x \) во вторую производную:

a) При \( x = 0 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 6(0) + 6 = 6 > 0 \]

Это означает, что при \( x = 0 \) вторая производная положительна, и точка \( x = 0 \) является точкой минимума.

b) При \( x = -2 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \]

Это означает, что при \( x = -2 \) вторая производная отрицательна, и точка \( x = -2 \) является точкой максимума.

Таким образом, у функции \( y = x^3 + 3x^2 + 4 \) есть точка минимума при \( x = 0 \) и точка максимума при \( x = -2 \).