Question

В возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами произведение первого и четвертого равно 27, а сумма второго и третьего равна 12. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Answer 1

A1²q³=27
a1q+a1q²=12⇒a1(q+q²)=12⇒a1=12/(q+q²)
q³*144/q²(1+q)²=27
144q=27(1+q)²
27+54q+27q²-144q=0
27q²-90q+27=0
3q²-10q+3=0
D=100-36=64
q1=(10-8)/6=1/3⇒a1=12:4/9=27
q2=(10+8)/6=3⇒a1=12/12=1

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \(a\) и знаменатель как \(r\). Тогда члены прогрессии будут следующими:

1. Первый член: \(a\) 2. Второй член: \(ar\) 3. Третий член: \(ar^2\) 4. Четвертый член: \(ar^3\)

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. Произведение первого и четвертого членов равно 27: \[a \cdot ar^3 = 27\]

2. Сумма второго и третьего членов равна 12: \[ar + ar^2 = 12\]

Теперь решим систему уравнений.

Уравнение 1: \[a \cdot ar^3 = 27\]

Уравнение 2: \[ar + ar^2 = 12\]

Перепишем уравнение 1: \[a^2r^3 = 27\]

Теперь поделим уравнение 1 на уравнение 2: \[\frac{a^2r^3}{ar+ar^2} = \frac{27}{12}\]

Сократим обе стороны на \(a\) и упростим: \[\frac{ar^2}{r+1} = \frac{9}{4}\]

Умножим обе стороны на \(r+1\): \[ar^2 = \frac{9}{4}(r+1)\]

Раскроем скобки: \[ar^2 = \frac{9}{4}r + \frac{9}{4}\]

Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: \[4ar^2 - 9r - 9 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(r\). Решим его, используя квадратное уравнение:

\[r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае: \[a = 4, b = -9, c = -9\]

\[r = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(4)(-9)}}{2(4)}\]

\[r = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8}\]

\[r = \frac{9 \pm \sqrt{225}}{8}\]

\[r = \frac{9 \pm 15}{8}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(r\):

1. \(r_1 = \frac{24}{8} = 3\) 2. \(r_2 = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\)

Теперь найдем соответствующие значения для \(a\).

Для \(r = 3\): \[4a(3)^2 - 9(3) - 9 = 0\] \[36a - 27 - 9 = 0\] \[36a = 36\] \[a = 1\]

Для \(r = -\frac{3}{4}\): \[4a\left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 9\left(-\frac{3}{4}\right) - 9 = 0\] \[\frac{9}{4}a + \frac{27}{4} - 9 = 0\] \[\frac{9}{4}a = \frac{9}{4}\] \[a = 1\]

Таким образом, у нас есть два решения для геометрической прогрессии:

1. \(a = 1, r = 3\) 2. \(a = 1, r = -\frac{3}{4}\)