Question

Найдите все значения параметра а при которых многочлен ( (a^2-1)x^4-2x^3+(2a-1)x-7 будет тождественно равен многочлену 8x^4-2x^3-(a-8)x-4-a

Answer 1

$(a ^2 -1)x^4-2x^3+(2a-1)x-7=8x^4-2x^3-(a-8)x-4-a$
Приравниваем коэффициенты (по степеням:
{$a^2-1=8$
{$2a-1=-(a-8)$
{$-7=-4-a$
Решаем систему:
{$a^2=9$
{$3a=9$
{$-3=-a$
В итоге:
{$[a=3$
{$[a=-3$
{$a=3$
{$a=3$
Во всех трёх уравнениях системы есть один общий корень - $3$. Значит, при $a=3$ оба многочлены будут тождественно равны.

Answer 2

Для решения уравнения \((a^2-1)x^4-2x^3+(2a-1)x-7 = 8x^4-2x^3-(a-8)x-4-a\), давайте приведем его к стандартной форме и сгруппируем члены:

\[ (a^2-1)x^4-2x^3+(2a-1)x-7 = 8x^4-2x^3-(a-8)x-4-a \]

Распределение и сгруппировка:

\[ (a^2-1-8)x^4 + (-2+2a)x^3 + (2a-1+a-8)x - (7+4) = 0 \]

Упростим:

\[ (a^2-9)x^4 + (2a-2)x^3 + (3a-9)x - 11 = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение \(f(a) = (a^2-9)x^4 + (2a-2)x^3 + (3a-9)x - 11 = 0\). Мы хотим, чтобы это уравнение было тождественно равным нулю для всех \(x\). Таким образом, каждый коэффициент при каждой степени \(x\) должен быть равен нулю.

1. Коэффициент при \(x^4\): \(a^2 - 9 = 0\). Решение этого уравнения даёт два значения \(a = -3\) и \(a = 3\). 2. Коэффициент при \(x^3\): \(2a - 2 = 0\). Решение: \(a = 1\). 3. Коэффициент при \(x\): \(3a - 9 = 0\). Решение: \(a = 3\). 4. Свободный член: \(-11 = 0\) (очевидно, что это не выполняется для никакого значения \(a\)).

Таким образом, уравнение \(f(a) = 0\) выполняется только для \(a = -3\) и \(a = 3\).