Question

Решить задачу: Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что на удачу выбранные 3 лампы окажутся исправными?

Answer 1

Решим двумя способами

1 способ

из 100 ламп 5 неисправны
Значит вероятность достать неисправную лампу 5/100=0,05
вероятность достать исправную лампу  1-0,05=0,95

Достаем 3 исправные лампы
Вероятность 0,95*0,95*0,95≈0,8573

2 способ

вспомним формулы из теории вероятности

Выбрать 3 лампы из 100

$C_{100}^3= \frac{100!}{3!*97!}= \frac{98*99*100}{3!}$

Выбрать 3 исправные лампы из 95
$C_{95}^3= \frac{95!}{3!*92!}= \frac{93*94*95}{3!}$

Вероятность это отношение количества благоприятных исходов на общее количество исходов

$P= \frac{98*99*100}{3!}: \frac{93*94*95}{3!}= \frac{98*99*100}{93*94*95}=0.8559..$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику.

Сначала вычислим общее количество способов выбрать 3 лампы из 100. Это может быть решено с помощью формулы сочетания: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

где n - общее количество объектов, k - количество объектов, которые мы выбираем.

В нашем случае, n = 100 (общее количество ламп) и k = 3 (количество ламп, которые мы выбираем).

C(100, 3) = 100! / (3!(100-3)!) = 100! / (3! * 97!) = (100 * 99 * 98) / (3 * 2 * 1) = 161700.

Теперь вычислим количество способов выбрать 3 исправные лампы из 95 исправных ламп (так как изначально было 100 ламп и 5 были испорчены):

C(95, 3) = 95! / (3!(95-3)!) = 95! / (3! * 92!) = (95 * 94 * 93) / (3 * 2 * 1) = 138415.

Итак, вероятность того, что наугад выбранные 3 лампы окажутся исправными, равна:

P = (количество способов выбрать 3 исправные лампы) / (общее количество способов выбрать 3 лампы)

P = 138415 / 161700 ≈ 0.8552

Вероятность того, что наугад выбранные 3 лампы окажутся исправными, примерно равна 0.8552 или 85.52%.