Question

Найдите производную функции y = - 1/cos2x + cos п/3 в точке x0 = п/8

Answer 1

Y = - (1/cos2x) + cos п/3
y`=- (1/cos^2(2x))*2*sin(2x) + 0 = - 2*sin(2x)/cos^2(2x)
y`(x0=п/8) =-2*sin(2*п/8)/cos^2(2*п/8)=
=-2*sin(п/4)/cos^2(п/4)=
=- 2*(корень(2)/2)*2=
=- 2*корень(2)

Answer 2

Для нахождения производной данной функции \(y = -\frac{1}{\cos^2(x)} + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{8}\), воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Найдем производную первого слагаемого \(-\frac{1}{\cos^2(x)}\): \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{\cos^2(x)}\right) = \frac{d}{dx}\left(-\sec^2(x)\right) = 2\sec(x) \cdot \sec(x) \tan(x) = -2\sec(x) \tan(x). \]

2. Найдем производную второго слагаемого \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\): \[ \frac{d}{dx}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 0, \] так как константа не зависит от переменной \(x\).

Теперь сложим производные и подставим значение точки \(x_0 = \frac{\pi}{8}\):

\[ y'(x) = -2\sec(x) \tan(x). \]

\[ y'\left(\frac{\pi}{8}\right) = -2\sec\left(\frac{\pi}{8}\right) \tan\left(\frac{\pi}{8}\right). \]

Таким образом, это и есть значение производной функции в точке \(x_0 = \frac{\pi}{8}\). Если нужно численное значение, можно подставить приближенное значение \(\sec\left(\frac{\pi}{8}\right)\) и \(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)\).