Question

Даны координаты вершин треугольника: A(2;1;-2), B(3;-2;1), C(3;-4;0). Найти высоту треугольника, опущенную из вершины B. Ответ записать с точностью до трех знаков после запятой.

Answer 1

HB= | ABxAC | / | AC |

AB ( 1; -3; 3)
AC( 1;-5;2) длина √(1+25+4)=√30

АВxAC = 9 i - j - 2k
| ABxAC | = √ (81+1+4)= √86
hB= √(86/30)= ~1.693

Answer 2

Для нахождения высоты треугольника, опущенной из вершины B, нужно использовать формулу, связанную с векторами.

Высота, опущенная из вершины B, будет перпендикулярна стороне AC и проходит через вершину B. Пусть \( h_B \) - это высота, которую мы ищем.

Вектор, задающий сторону AC, можно найти вычитанием координат вектора A из вектора C:

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \]

Теперь мы можем использовать проекцию вектора \( \overrightarrow{BA} \) на \( \overrightarrow{AC} \) для нахождения высоты:

\[ h_B = \frac{\left| \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} \right|}{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|} \]

Где \( \cdot \) - это скалярное произведение векторов, \( \left| \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} \right| \) - модуль этого произведения, а \( \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \) - длина вектора \( \overrightarrow{AC} \).

Теперь давайте найдем все необходимые векторы:

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (3 - 2, -4 - 1, 0 - (-2)) = (1, -5, 2) \]

\[ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (2 - 3, 1 - (-2), -2 - 1) = (-1, 3, -3) \]

Теперь вычислим \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(1) + (3)(-5) + (-3)(2) = -1 - 15 - 6 = -22 \]

Теперь найдем длину вектора \( \overrightarrow{AC} \):

\[ \left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30} \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для высоты:

\[ h_B = \frac{\left| -22 \right|}{\sqrt{30}} \]

Ответ:

\[ h_B \approx \frac{22}{\sqrt{30}} \approx \frac{22}{5.477} \approx 4.01 \]

Таким образом, высота треугольника, опущенная из вершины B, равна примерно 4.01 с точностью до трех знаков после запятой.