Question

1) вычислить 2 log 1/5 10 - log 1/5 28 +1/2 log 1/5 49 2) решить уравнение и неравенство log3( 3x-1)-1=log3(x+3)-log3(x+1) Пожалуйста решите

Answer 1

1
log(1/5)10²-log(1/5)28+log(1/5)√49=log(1/5)100-log(1/5)28+log(1/5)7=
=log(1/5)(100*7/28)=log(1/5)25=-2
2
log3( 3x-1)-1=log3(x+3)-log3(x+1)
{3x-1>0⇒x>1/3
{x+3>0⇒x>-3
{x+1>0⇒x>-1
x∈(1/3;∞)
log(3)[(3x-1)/3]=log(3)[(x+3)/(x+1)]
(3x-1)/3=(x+3)/(x+1)
(3x-1)(x+1)=3(x+3)
3x²+3x-x-1-3x-9=0
3x²-x-10=0
D=1+120=121
x1=(1-11)/6=-5/3 не удов усл
x2=(1+11)/6=2
Ответ х=2

Answer 2

Давайте разберемся с каждым вопросом по очереди.

1) Вычислить \(2 \cdot \log_{\frac{1}{5}} 10 - \log_{\frac{1}{5}} 28 + \frac{1}{2} \cdot \log_{\frac{1}{5}} 49\):

Используем свойства логарифмов:

\[ \begin{align*} &2 \cdot \log_{\frac{1}{5}} 10 - \log_{\frac{1}{5}} 28 + \frac{1}{2} \cdot \log_{\frac{1}{5}} 49 \\ &= \log_{\frac{1}{5}} 10^2 - \log_{\frac{1}{5}} 28 + \log_{\frac{1}{5}} \sqrt{49} \\ &= \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{100}{28}\right) + \log_{\frac{1}{5}} 7 \\ &= \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{25}{7}\right) + \log_{\frac{1}{5}} 7 \\ &= \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{25}{7} \cdot 7\right) \\ &= \log_{\frac{1}{5}} 25 \\ &= 2 \end{align*} \]

Таким образом, \(2 \cdot \log_{\frac{1}{5}} 10 - \log_{\frac{1}{5}} 28 + \frac{1}{2} \cdot \log_{\frac{1}{5}} 49 = 2\).

2) Решить уравнение и неравенство \(\log_3 (3x-1) - 1 = \log_3 (x+3) - \log_3 (x+1)\):

Используем свойства логарифмов:

\[ \begin{align*} \log_3 (3x-1) - 1 &= \log_3 (x+3) - \log_3 (x+1) \\ \log_3 \frac{3x-1}{3} &= \log_3 \frac{x+3}{x+1} \\ \frac{3x-1}{3} &= \frac{x+3}{x+1} \end{align*} \]

Теперь решим полученное уравнение:

\[ \begin{align*} (x+1)(3x-1) &= 3(x+3) \\ 3x^2 - x + 3x - 3 &= 3x + 9 \\ 3x^2 + 2x - 12 &= 0 \end{align*} \]

Решим квадратное уравнение:

\[ \begin{align*} D &= b^2 - 4ac \\ &= 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) \\ &= 4 + 144 \\ &= 148 \end{align*} \]

\[ \begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{148}}{6} \\ &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{37}}{6} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{3} \end{align*} \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}\) и \(x = \frac{-1 - \sqrt{37}}{3}\).

Теперь проверим знак выражения \(\log_3 (3x-1) - 1 - \log_3 (x+3) + \log_3 (x+1)\) в каждом из интервалов, образованных корнями уравнения:

1. При \(x < \frac{-1 - \sqrt{37}}{3}\), оба множителя в выражении \(\frac{3x-1}{3} - \frac{x+3}{x+1}\) положительны, следовательно, выражение положительно. 2. В интервале \(\frac{-1 - \sqrt{37}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}\) первый множитель отрицателен, а второй положителен, следовательно, выражение отрицательно. 3. При \(x > \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}\), оба множителя вновь положительны, и выражение положительно.

Таким образом, решение неравенства \(\log_3 (3x-1) - 1 > \log_3 (x+3) - \log_3 (x+1)\) - это интервал \(\frac{-1 - \sqrt{37}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}\).