Question

Система х^-х>0 и х^2-х<2

Answer 1

Решение второго неравенства:
x²-x<2
x²-x-2<0
x²-x-2=0
D=1+8=9
x1=(1+3)/2=2
x1=(1-3)/2=-1
Получились три интервала (-∞;-1)∪(-1;2)∪(2;+∞)
Функция меньше 0 на интервале (-1;2)

решение первого неравенства
x²-x>0
x²-x=0
x(x-1)=0
x=0 и x=1
Получили три интервала (-∞;0)∪(0;1)∪(1;+∞)
Функция больше 0 на интервалах (-∞;0) и (1;+∞)

Пересечением решений первого и второго неравенств являются интервалы (-1;0)∪(1;2)

Answer 2

Чтобы решить неравенство системы x^-x>0 и x^2-x<2, нужно рассмотреть каждое неравенство по отдельности и найти их пересечение.

Начнем с первого неравенства, x^-x>0. Заметим, что данное неравенство может быть записано как (1/x)^x > 0. Очевидно, что 1/x всегда положительно, кроме случаев, когда x = 0. Также, для положительного числа возведенного в любую степень, результат всегда будет положительным. Следовательно, неравенство (1/x)^x > 0 будет выполняться для всех x, кроме x = 0.

Теперь рассмотрим второе неравенство, x^2-x<2. Приведем его к виду x^2-x-2<0 и решим его с помощью факторизации: (x-2)(x+1)<0. Заметим, что у нас есть два корня уравнения: x=2 и x=-1. Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется: x | x-2 | x+1 | --------------------- -2 | - | + | --------------------- 0 | - | + | --------------------- 2 | 0 | + | ---------------------

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется на интервале (-∞, -1) объединенном с интервалом (0, 2).

Таким образом, решением системы неравенств x^-x>0 и x^2-x<2 является множество всех чисел, кроме x = 0, а также интервалы (-∞, -1) и (0, 2).