Question

Решить неравенство 1. 7^(log7(2-x)<2Спростить выражение2. сos3xcosx+sin3xsinx

Answer 1

Если что-то не так то обращайтесь

Answer 2

Давайте начнем с решения неравенства \(7^{\log_7(2-x)} < 2\).

1. Первым шагом заметим, что \(\log_7(2-x)\) является логарифмом по основанию 7, что означает, что \(\log_7(7) = 1\). Таким образом, \(\log_7(2-x)\) равен 1, если \(2-x = 7\). Решим уравнение \(2-x = 7\) относительно \(x\):

\[ x = 2 - 7 = -5 \]

Это точка, в которой логарифм в исходном неравенстве равен 1.

2. Теперь рассмотрим два случая: - Когда \(2-x > 7\): в этом случае логарифм будет положительным, и неравенство примет вид \(7^{\text{положительное число}} < 2\), что невозможно, так как любое положительное число, возведенное в степень, всегда больше этого числа. Следовательно, в этом случае неравенство не имеет решений. - Когда \(2-x < 7\): в этом случае логарифм будет отрицательным, и неравенство примет вид \(7^{\text{отрицательное число}} < 2\). Так как \(7^{\text{отрицательное число}}\) всегда меньше 1, это условие выполнится. Следовательно, решением неравенства в этом случае является интервал значений \(x\), для которого \(2-x < 7\).

Решим неравенство \(2-x < 7\): \[ -x < 5 \] Умножим обе стороны на -1 и поменяем знак: \[ x > -5 \]

Таким образом, решением неравенства \(7^{\log_7(2-x)} < 2\) является интервал \(x > -5\).

Теперь перейдем ко второму выражению: \(\cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x)\).

Используем тригонометрическую формулу для произведения суммы и разности: \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

Сравним данную формулу с нашим выражением: \[ \cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x) = \cos(3x - x) \]

Таким образом, данное выражение равно \(\cos(2x)\).