Question

Известно, что х1, x2,x3- различные корни уравнения х^3-x-1=0. Составьте уравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа х+1/х1-1 ; х2+1/х2-1 ; х3+1/х3-1

Answer 1

У этого кубического уравнения очевидно только 1 действительный корень , и два комплексных, если мы сделаем 
$\frac{x+1}{x-1}=t\\ x+1=tx-t\\ 1+t=tx-x\\ x=\frac{t+1}{t-1}$
подставляя ее в исходную  
$(\frac{t+1}{t-1})^3-\frac{t+1}{t-1}-1=0\\ -t^3+7t^2+t+1=0$
это и будет уравнением 

Answer 2

Известные корни уравнения

Дано, что уравнение x^3 - x - 1 = 0 имеет три различных корня: x1, x2, x3.

Формирование уравнения наименьшей степени с данными корнями

Чтобы составить уравнение наименьшей степени с данными корнями, мы должны использовать свойства симметрии корней кубического уравнения.

Свойство: Если a является корнем кубического уравнения, то 1/a - 1 также будет корнем этого уравнения.

С учетом этого свойства, мы можем составить уравнение наименьшей степени, используя данные корни x1, x2, x3.

Уравнение наименьшей степени с данными корнями будет иметь вид:

(x - a)(x - (1/a - 1))(x - (b))(x - (1/b - 1))(x - (c))(x - (1/c - 1)) = 0

где a = x1, b = x2, c = x3.

Выражение уравнения наименьшей степени

Давайте выразим данное уравнение с использованием данных корней:

(x - x1)(x - (1/x1 - 1))(x - x2)(x - (1/x2 - 1))(x - x3)(x - (1/x3 - 1)) = 0

Таким образом, уравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа x + 1/x - 1; x2 + 1/x2 - 1; x3 + 1/x3 - 1, будет представлено вышеуказанным выражением.