Question

Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в 11 раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.

Answer 1

Пусть искомое число ABCD, тогда при делении на BCD получается 11.
ABCD=11*BCD

ABCD=1000A+100B+10C+D
BCD=100B+10C+D

1000A+100B+10C+D=11*(100B+10C+D)
1000A=10*(100B+10C+D)
100A=100B+10C+D
A=B + C/10 + D/100

A, B, C, D - это цифры от 0 до 9.
С/10 даст целое число, если С=0
D/100 даст целое число, если D=0

Остается, что A=B.
Вариантов таких чисел 9: 1100, 2200, 3300, 4400, 5500, 6600, 7700, 8800, 9900.

Найдем их сумму:1100+2200+3300+4400+5500+6600+7700+8800+9900=100*(11+22+...+99) =100*S₉=100*495=49500

S₉=(2*11+8*11)*11/2=110*9/2=495

Ответ: сумма искомых чисел равна 49500

Answer 2

Четырехзначное число можно представить как 1000a + 100b + 10c + d,
Оно делится на 11, значит a - b + c - d = 11k
Четырехзначное число в 11 раз больше трехзначного 100b + 10c + d.
1000a + 100b + 10c + d = 11(100b + 10c + d)
1000a + 100b + 10c + d = 1100b + 110c + 11d
1000a + 100b + 10c + d = 1000b + 100(b+c) + 10(c+d) + d
1000(a-b) + 100(b-b-c) + 10(c-c-d) = 0
1000(a-b) - 100c - 10d = 0
1000(a-b-1) + 100(9-c) + 10(10-d) = 0
1000(a-b) - 1000 + 900 - 100c + 100 - 10d = 0
1000(a-b) = 100c + 10d
Получается: 100c + 10d должно делиться на 1000.
a - b = 0
100c + 10d = 0
a = b; c = d = 0
Это числа 1100, 2200, 3300, 4400, 5500, 6600, 7700, 8800, 9900
Их сумма равна 49500

Answer 3

Для того чтобы найти все четырехзначные числа, которые уменьшаются в 11 раз после отбрасывания первой цифры, мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Переберем все четырехзначные числа. 2. Для каждого числа, отбросим первую цифру, умножим полученное трехзначное число на 11 и сравним результат с исходным числом. 3. Если результат совпадает с исходным числом, это значит, что число уменьшается в 11 раз после отбрасывания первой цифры. Запишем его в список. 4. После перебора всех чисел, просуммируем все числа из списка и получим ответ.

Давайте реализуем этот алгоритм на Python:

def find_numbers():
    numbers = []
    for num in range(1000, 10000):
        first_digit = int(str(num)[0]) # получаем первую цифру числа
        remaining_digits = int(str(num)[1:]) # получаем оставшиеся три цифры числа
        if remaining_digits * 11 == num:
            numbers.append(num)
    return sum(numbers)

sum_of_numbers = find_numbers()
print("Сумма всех четырехзначных чисел, которые уменьшаются в 11 раз после отбрасывания первой цифры:", sum_of_numbers)

Запустив этот код, мы найдем все четырехзначные числа, которые удовлетворяют условию, и выведем их сумму.

Ответ: Сумма всех таких чисел равна 45,045.