Question

В геометрической прогрессии cn=54; q=3; Sn=80 2/3. Найти с1 и n.

Answer 1

Из формулы n-го члена геометрической прогрессии:

                                    $\boxed{\rm c_n=c_1q^{n-1}}$

Выразим первый член этой прогрессии:

$\rm c_1=\dfrac{c_n}{q^{n-1}}=\dfrac{54}{3^{n-1}}=\dfrac{162}{3^n}$

$\rm S_n=\dfrac{c_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ - сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Подставим $\rm c_1$ в сумму, получим

$\rm 80\dfrac{2}{3}=\dfrac{162\cdot \left(1-3^n\right)}{3^n\cdot (1-3)}~~~\Leftrightarrow~~~\dfrac{242}{3}=\dfrac{81\cdot\left(3^n-1\right)}{3^n}\\ \\ 242\cdot 3^n=243\cdot \left(3^n-1\right)\\ \\ 242\cdot 3^n=243\cdot 3^n-243\\ \\ 3^n=243\\ \\ 3^n=3^5~~~~\Leftrightarrow~~~~ \boxed{\rm n=5}$

Первый член геом. прогрессии: $\rm c_1=\dfrac{162}{3^5}=\dfrac{2}{3}$

Answer 2

Для решения задачи по геометрической прогрессии, где даны общий член \( c_n \), знаменатель \( q \) и сумма первых \( n \) членов \( S_n \), можно воспользоваться формулами для общего члена и суммы геометрической прогрессии.

Общий член геометрической прогрессии выражается формулой: \[ c_n = c_1 \cdot q^{(n-1)} \]

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии выражается формулой: \[ S_n = c_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

У вас даны следующие данные: \[ c_n = 54, \quad q = 3, \quad S_n = \frac{80}{3} \]

Заменим \( c_n \) в формуле для общего члена: \[ 54 = c_1 \cdot 3^{(n-1)} \]

Теперь заменим \( S_n \) в формуле для суммы первых \( n \) членов: \[ \frac{80}{3} = c_1 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} \]

Решим систему уравнений, состоящую из этих двух уравнений, чтобы найти \( c_1 \) и \( n \).

1. Уравнение для \( c_n \): \[ 54 = c_1 \cdot 3^{(n-1)} \]

2. Уравнение для \( S_n \): \[ \frac{80}{3} = c_1 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} \]

Преобразуем второе уравнение: \[ \frac{80}{3} = c_1 \cdot \frac{3^n - 1}{2} \]

Теперь можем выразить \( c_1 \) из первого уравнения и подставить во второе уравнение: \[ c_1 = \frac{54}{3^{(n-1)}} \]

Подставим \( c_1 \) во второе уравнение: \[ \frac{80}{3} = \frac{54}{3^{(n-1)}} \cdot \frac{3^n - 1}{2} \]

Решим уравнение для \( n \). После нахождения \( n \) подставим его в уравнение для \( c_1 \), чтобы найти \( c_1 \).