Question

Докажите, что разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4

Answer 1

 

$2m, 2m+2 (2m+2)^2 -4m^2 = \\4m^2 +4m + 4 = 4m^2 = 4m+4 = 4(m+1)$

 

 

 

Answer 2

Для того чтобы доказать, что разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4, можно воспользоваться математической индукцией.

1. Базовый случай: Проверим, что утверждение верно для первого четного числа. Пусть первое четное число равно 2, тогда его квадрат будет равен 4. Разность квадратов двух последовательных четных чисел равна (4^2 - 2^2) = (16 - 4) = 12. Очевидно, что 12 делится на 4 без остатка.

2. Предположение индукции: Предположим, что разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4 для некоторого четного числа k. То есть (k+2)^2 - k^2 делится на 4.

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно для следующего четного числа (k+2). Разность квадратов двух последовательных четных чисел равна ((k+2)^2 - (k+2-2)^2) = ((k+2)^2 - k^2) = (k^2 + 4k + 4 - k^2) = 4k + 4. Поскольку k является четным числом, то 4k делится на 4 без остатка. Также 4 также делится на 4 без остатка. Поэтому разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4.

Таким образом, мы доказали по индукции, что разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4 для любого четного числа.