Question

Решите неравенство (х-10)(х+2) <= 160

Answer 1

Корни = 18 и -10. Искомая область с помощью метода пробной точки находится между ними

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны раскрыть скобки и привести его к каноническому виду. Давайте выполним эти шаги по порядку.

1. Раскроем скобки, используя правило распределения: (х - 10)(х + 2) ≤ 160 х^2 - 10х + 2х - 20 ≤ 160 х^2 - 8х - 20 ≤ 160

2. Соберем все члены в левой части неравенства: х^2 - 8х - 20 - 160 ≤ 0 х^2 - 8х - 180 ≤ 0

Теперь мы должны решить это квадратное неравенство. Для этого мы можем использовать различные методы, например, графический метод или метод интервалов. Один из наиболее распространенных методов - это метод знаков, который заключается в построении таблицы знаков.

Метод знаков:

1. Найдем значения х, при которых левая часть неравенства равна нулю: х^2 - 8х - 180 = 0

Для решения этого квадратного уравнения мы можем использовать формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = (-8)^2 - 4(1)(-180) D = 64 + 720 D = 784

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два действительных корня: х₁ = (-b + √D) / 2a = (-(-8) + √784) / (2 * 1) = (8 + 28) / 2 = 36 / 2 = 18

х₂ = (-b - √D) / 2a = (-(-8) - √784) / (2 * 1) = (8 - 28) / 2 = -20 / 2 = -10

Итак, у нас есть два значения х: 18 и -10.

2. Построим таблицу знаков, используя найденные значения х:

| | х < -10 | -10 < х < 18 | х > 18 | |---------|---------|--------------|-------| | х^2 | + | + | + | | -8х | - | + | + | | -180 | - | - | - | | х^2 - 8х - 180 | - | + | - |

В таблице знаков мы видим, что левая часть неравенства х^2 - 8х - 180 меняет знак с отрицательного на положительный при значениях х в интервале от -10 до 18.

3. Теперь, чтобы найти решения неравенства, мы должны понять, когда левая часть неравенства меньше или равна нулю. Исходя из таблицы знаков, мы видим, что это происходит, когда левая часть неравенства отрицательна или равна нулю.

Таким образом, решением неравенства является интервал (-∞, -10] ∪ [18, +∞).

Ответ: Решением неравенства (х-10)(х+2) ≤ 160 является интервал (-∞, -10] ∪ [18, +∞).