Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение с параметром!!! При каких значениях a корни x_{1} , x_{2} уравнения x^2 + (2a - 1)x + a^2 + 2 = 0 удовлетворяют условию x_{1} = 2 x_{2} ?

Answer 1

Смотри решение на фото

Answer 2

Давайте решим уравнение x^2 + (2a - 1)x + a^2 + 2 = 0 с параметром a и найдем при каких значениях параметра a корни уравнения удовлетворяют условию x1 = 2x2.

Для начала, найдем корни уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение для этого, применив формулу дискриминанта.

Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac

Где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В нашем случае, a = 1, b = 2a - 1 и c = a^2 + 2. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (2a - 1)^2 - 4(1)(a^2 + 2)

Раскроем скобки:

D = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 - 8

Сократим подобные слагаемые:

D = -8a - 7

Теперь, чтобы найти значения параметра a, при которых корни x1 и x2 удовлетворяют условию x1 = 2x2, мы должны рассмотреть два случая:

1. Когда x1 = 2x2:

Подставим это условие в исходное уравнение:

2x2^2 + (2a - 1)(2x2) + a^2 + 2 = 0

Раскроем скобки и упростим:

4x2^2 + 4ax2 - 2x2 + a^2 + 2 = 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

4x2^2 + (4a - 2)x2 + a^2 + 2 = 0

2. Когда x1 ≠ 2x2:

Подставим это условие в исходное уравнение:

x2^2 + (2a - 1)x2 + a^2 + 2 = 0

Теперь у нас есть два уравнения: одно, когда x1 = 2x2, и второе, когда x1 ≠ 2x2. Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения параметра a, при которых они выполняются.

Решение первого уравнения (x1 = 2x2):

4x2^2 + (4a - 2)x2 + a^2 + 2 = 0

Мы можем использовать квадратное уравнение для решения этого уравнения. Найдем дискриминант этого уравнения:

D1 = (4a - 2)^2 - 4(4)(a^2 + 2)

Раскроем скобки и упростим:

D1 = 16a^2 - 16a + 4 - 16a^2 - 32

Сократим подобные слагаемые:

D1 = -32a - 28

Теперь найдем значения параметра a, при которых D1 = 0:

-32a - 28 = 0

Решим это уравнение:

-32a = 28

a = 28 / -32

a = -7 / 8

Таким образом, при a = -7 / 8, корни x1 и x2 удовлетворяют условию x1 = 2x2.

Решение второго уравнения (x1 ≠ 2x2):

x2^2 + (2a - 1)x2 + a^2 + 2 = 0

Мы также можем использовать квадратное уравнение для решения этого уравнения. Найдем дискриминант этого уравнения:

D2 = (2a - 1)^2 - 4(1)(a^2 + 2)

Раскроем скобки и упростим:

D2 = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 - 8

Сократим подобные слагаемые:

D2 = -4a - 7

Теперь найдем значения параметра a, при которых D2 = 0:

-4a - 7 = 0

Решим это уравнение:

-4a = 7

a = 7 / -4

a = -7 / 4

Таким образом, при a = -7 / 4, корни x1 и x2 не удовлетворяют условию x1 = 2x2.

Итак, при значениях параметра a = -7 / 8, корни x1 и x2 уравнения x^2 + (2a - 1)x + a^2 + 2 = 0 удовлетворяют условию x1 = 2x2.