Question

Известно, что x1 и x2 - корни уравнения x^2 - 4x + a = 0, а x3 и x4 - корни уравнения x^2 -12x + b = 0.Числа x1, x2, x3, x4 составляют арифметическую прогрессию. Найдите параметры a и b

Answer 1

Применим теорему Виета и свойство арифметической прогрессии
x1+x2=4
x3+x4=12
x2=x1+c  x3=x1+2c  x4=x1+3c
2x1+x=4
2x1+5c=12  c=2
x1=1 x2=3 x3=5 x4=7
a=x1*x2=1*3=3
b=x3*x4=5*7=35

Answer 2

Дано, что x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 - 4x + a = 0, а x3 и x4 являются корнями уравнения x^2 - 12x + b = 0. Известно также, что числа x1, x2, x3 и x4 составляют арифметическую прогрессию.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойством арифметической прогрессии, которое гласит, что разница между любыми двумя последовательными членами прогрессии является постоянной.

Пусть d будет этой постоянной разницей между членами прогрессии. Тогда мы можем записать следующие равенства:

x2 - x1 = d (уравнение 1) x3 - x2 = d (уравнение 2) x4 - x3 = d (уравнение 3)

Также, по определению корней уравнений, мы можем записать следующие равенства:

x1 + x2 = 4 (уравнение 4) x3 + x4 = 12 (уравнение 5)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Решение уравнений

Из уравнения 4 мы можем выразить x2:

x2 = 4 - x1 (уравнение 6)

Из уравнения 5 мы можем выразить x4:

x4 = 12 - x3 (уравнение 7)

Подставим уравнения 6 и 7 в уравнения 2 и 3 соответственно:

x3 - (4 - x1) = d (уравнение 2') (12 - x3) - x3 = d (уравнение 3')

Упростим уравнения 2' и 3':

x3 - 4 + x1 = d (уравнение 2'') 12 - 2x3 = d (уравнение 3'')

Теперь сравним уравнения 3'' и 2'':

12 - 2x3 = x3 - 4 + x1

Перенесем все члены с x3 на одну сторону:

3x3 + x1 = 16 (уравнение 8)

Теперь, используя уравнение 1, можем записать:

x3 - x1 = d

x3 = d + x1 (уравнение 9)

Подставим уравнение 9 в уравнение 8:

3(d + x1) + x1 = 16

Раскроем скобки:

3d + 3x1 + x1 = 16

Сгруппируем члены с x1:

4x1 + 3d = 16 (уравнение 10)

Теперь у нас есть два уравнения: уравнение 4 и уравнение 10. Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения параметров a и b.

Решение системы уравнений

Из уравнения 4 мы можем выразить x1:

x1 = 4 - x2

Подставим это в уравнение 10:

4(4 - x2) + 3d = 16

Раскроем скобки:

16 - 4x2 + 3d = 16

Сократим 16 на обеих сторонах:

-4x2 + 3d = 0

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

4x1 + 3d = 16 -4x2 + 3d = 0

Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 4 и второе уравнение на -1:

16x1 + 12d = 64 4x2 - 3d = 0

Добавим оба уравнения:

16x1 + 12d + 4x2 - 3d = 64

Упростим:

16x1 + 4x2 + 9d = 64

Теперь у нас есть новое уравнение:

16x1 + 4x2 + 9d = 64 (уравнение 11)

Теперь мы можем решить систему уравнений 4 и 11 для нахождения параметров a и b.

Решение системы уравнений 4 и 11

Из уравнения 4 мы можем выразить x2:

x2 = 4 - x1

Подставим это в уравнение 11:

16x1 + 4(4 - x1) + 9d = 64

Раскроем скобки:

16x1 + 16 - 4x1 + 9d = 64

Сгруппируем члены с x1:

12x1 + 9d = 48

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

4x1 + 3d = 16 12x1 + 9d = 48

Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 3 и вычтем его из второго уравнения:

12x1 + 9d - (4x1 + 3d) = 48 - 16

Упростим:

8x1 + 6d = 32

Теперь у нас есть новое уравнение:

8x1 + 6d = 32 (уравнение 12)

Теперь мы можем решить систему уравнений 12 и 10 для нахождения параметров a и b.

Решение системы уравнений 12 и 10

Подставим значение 4x1 + 3d из уравнения 10 в уравнение 12:

8(4 - x2) + 6d = 32

Раскроем скобки:

32 - 8x2 + 6d = 32

Сократим 32 на обеих сторонах:

-8x2 + 6d = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

4x1 + 3d = 16 -8x2 + 6d = 0

Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 1:

8x1 + 6d = 32 -8x2 + 6d = 0

Добавим оба уравнения:

8x1 + 6d + (-8x2 + 6d) = 32

Упростим:

8x1 + (-8x2) + 12d = 32

Теперь у нас есть новое уравнение:

8x1 - 8x2 + 12d = 32 (уравнение 13)

Теперь мы можем решить систему уравнений 13 и 11 для нахождения параметров a и b.

Решение системы уравнений 13 и 11

Подставим значение 8x1 - 8x2 из уравнения 11 в уравнение 13:

8x1 - 8(4 - x1) + 12d = 32

Раскроем скобки:

8x1 - 32 + 8x1 + 12d = 32

Сгруппируем члены с x1:

16x1 + 12d = 64

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

8x1 - 8x2 + 9d = 32 16x1 + 12d = 64

Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем его из второго уравнения:

16x1 + 12d - (16x1 - 16x2 + 18d) =