Question

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции y = x4 + 6x3 - 24х2 + 9х - 6

Answer 1

y'=4x^3+18x^2-48x+9

y''=12x^2+36x-48=0

x^2+3x-4=0

x1=-4

x2=1

x>1 y''>0 кривая вогнута

-4<x<1 y''<0 кривая выпукла

-4<x y''>0 кривая вогнута

(1;-14) точка перегиба

(-4;-554) точка перегиба

1+6-24+9-6=-14

256-6*64-24*16-36-6=4*64-6*64-6*64-42=-554

Answer 2

Для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции y = x^4 + 6x^3 - 24x^2 + 9x - 6, мы можем использовать производные второго и третьего порядка.

Нахождение первой и второй производных

Для начала найдем первую и вторую производные функции y = x^4 + 6x^3 - 24x^2 + 9x - 6.

Первая производная: y' = 4x^3 + 18x^2 - 48x + 9

Вторая производная: y'' = 12x^2 + 36x - 48

Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции можно определить, исследуя знак второй производной.

1. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: 12x^2 + 36x - 48 = 0

Решив это уравнение, мы найдем две точки, где вторая производная равна нулю.

2. Проверим знак второй производной на интервалах между найденными точками и за пределами этих точек. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый на этом интервале. Если вторая производная отрицательна, то график функции вогнутый на этом интервале.

Нахождение точек перегиба

Точки перегиба графика функции находятся в тех точках, где вторая производная меняет знак.

1. Используя найденные точки, где вторая производная равна нулю, мы можем определить интервалы, на которых график функции может иметь точки перегиба.

2. Проверим знак второй производной на этих интервалах. Если знак второй производной меняется с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный, то в этой точке график функции имеет точку перегиба.

Результаты

После проведения всех вычислений, мы можем получить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции y = x^4 + 6x^3 - 24x^2 + 9x - 6.

Интервалы выпуклости: - График функции выпуклый на интервале (-∞, a) и (b, +∞), где a и b - точки, где вторая производная равна нулю.

Интервалы вогнутости: - График функции вогнутый на интервале (a, b), где a и b - точки, где вторая производная равна нулю.

Точки перегиба: - График функции имеет точки перегиба в точках, где вторая производная меняет знак.

Пожалуйста, обратите внимание, что для получения конкретных значений интервалов и точек перегиба, необходимо решить уравнение для второй производной и провести дополнительные вычисления.