Question

Прямая y=11x +16 является касательной к графику функции y=2x^3+4x^2+3x.Найдите абсциссу точки касания.

Answer 1

Y=y(x0) + y'(x0) * (x - x0) - уравнение касательной к графику.
По условию Y = 11x + 16
y(x0) = 2*(x0)^3+4*(x0)^2+3*(x0)
y'(x0) = 6*(x0)^2 + 8*(x0) + 3
Y =  2*(x0)^3+4*(x0)^2+3*(x0) + ( 6*(x0)^2 + 8*(x0) + 3)*(x - x0) = 2*(x0)^3+4*(x0)^2+3*(x0) + x*(6*(x0)^2 + 8*(x0) + 3) - 6*(x0)^3 - 8*(x0)^2 - 3*(x0) = x*(6*(x0)^2 + 8*(x0) + 3) + (-4*(x0)^3 - 4*(x0)^2)
(6*(x0)^2 + 8*(x0) + 3) = 11,  3*(x0)^2 + 4*(x0) - 4 = 0
-4*(x0)^3 - 4*(x0)^2 = 16,  (x0)^3 + (x0)^2 = -4
3*(x0)^2 + 4*(x0) - 4 = 0, D=16 + 4*4*3 = 64
x0 = (-4-8)/6 = -12/6 = -2
x0 = (-4+8)/6 = 4/6 = 2/3
(-2)^3 + (-2)^2 = -8+4 = -4 - верно
(2/3)^3 + (2/3)^2 = 20/27 # -4
Ответ: абсцисса точки касания х0 = -2

Answer 2

Для того чтобы найти абсциссу точки касания прямой \(y = 11x + 16\) и графика функции \(y = 2x^3 + 4x^2 + 3x\), нужно приравнять уравнения этих двух функций и решить полученное уравнение.

Уравнение прямой: \[y = 11x + 16\]

Уравнение функции: \[y = 2x^3 + 4x^2 + 3x\]

Теперь приравняем их: \[11x + 16 = 2x^3 + 4x^2 + 3x\]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение вида \(2x^3 + 4x^2 + 3x - 11x - 16 = 0\): \[2x^3 + 4x^2 - 8x - 16 = 0\]

Теперь найдем корень этого уравнения. К сожалению, аналитическое решение для кубического уравнения может быть сложным, и в данном случае оно не очень удобно. Мы можем воспользоваться численными методами или калькулятором для поиска корней.

Итак, найдем абсциссу точки касания, используя какой-либо метод решения уравнений. Например, можно воспользоваться калькулятором или программой для численного решения кубического уравнения.

После нахождения корня \(x\), подставим его обратно в уравнение прямой \(y = 11x + 16\), чтобы найти соответствующее значение \(y\). Таким образом, точка касания будет иметь координаты \((x, y)\), где \(x\) - абсцисса точки касания, а \(y\) - ордината точки касания.