Question

Отношение корней квадратного уравнения х^2 + 2x + q = 0 равно 6. Найдите корни уравнения и значение q

Answer 1

Корень уравннениия, будет равен 36

Answer 2

Давайте начнем с уравнения в общем виде:

\[x^2 + 2x + q = 0.\]

Если известно, что отношение корней квадратного уравнения \(x^2 + 2x + q = 0\) равно 6, мы можем воспользоваться этим свойством.

Отношение корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равно \(r\) можно выразить через коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) следующим образом:

\[\frac{\text{Корень 1}}{\text{Корень 2}} = r = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}.\]

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = q\). Так как отношение корней равно 6, мы можем записать уравнение:

\[6 = \frac{-2 + \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot q}}{-2 - \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot q}}.\]

Теперь давайте решим это уравнение.

Уравнение отношения корней \(6 = \frac{-2 + \sqrt{4 - 4q}}{-2 - \sqrt{4 - 4q}}\) можно упростить, умножив числитель и знаменатель дроби на \((-1)\), чтобы избавиться от отрицательного знака в знаменателе:

\[6 = \frac{2 - \sqrt{4 - 4q}}{2 + \sqrt{4 - 4q}}.\]

Теперь домножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

\[6 \cdot (2 + \sqrt{4 - 4q}) = 2 - \sqrt{4 - 4q}.\]

Раскроем скобки:

\[12 + 6\sqrt{4 - 4q} = 2 - \sqrt{4 - 4q}.\]

Перенесем все члены с корнем на одну сторону уравнения:

\[6\sqrt{4 - 4q} + \sqrt{4 - 4q} = -10.\]

Объединим корни:

\[(6 + 1)\sqrt{4 - 4q} = -10.\]

\[7\sqrt{4 - 4q} = -10.\]

Теперь разделим обе стороны на 7:

\[\sqrt{4 - 4q} = -\frac{10}{7}.\]

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[4 - 4q = \left(-\frac{10}{7}\right)^2.\]

Выполним вычисления:

\[4 - 4q = \frac{100}{49}.\]

\[4q = 4 - \frac{100}{49}.\]

\[4q = \frac{196 - 100}{49}.\]

\[4q = \frac{96}{49}.\]

\[q = \frac{96}{49 \times 4}.\]

\[q = \frac{96}{196}.\]

\[q = \frac{24}{49}.\]

Таким образом, значение \(q\) равно \(\frac{24}{49}\).