Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y= 1 + x^2 и прямой y - 2=0

Answer 1

1. точка пересечения параболы 1+x^2 и прямой y-2=0 x1=1, x2=-1 (будущие пределы интегрирования)
2. площадь искомой фигуры s равна разности площадей s1и s2:
s1-площадь, ограниченная сверху прямой y-2=0 от x1=-1 до x2=1; интеграл f(x)=2 от -1 до 1: 2x(в т.1)-2x(в т.-1)=2+2=4 (теорема Ньютона-Лейбница);
s2-площадь фигуры, ограниченной сверху параболой 1+x^2 от x1=-1 до x2=1; интеграл f(x)=1-x^2 от x1=-1 до x2=1: (x-(x^3)/3 в т. x1=1)-(x-(x^3)/3 в т. x1=-1) = 4/3+4/3=8/3
3. искомая площадь (разность площадей s1 и s2) равна s=s1-s2=4-8/3=4/3 (примерно 1,33)

Answer 2

Я могу помочь вам найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 1 + x^2 и прямой y - 2 = 0. Для этого я буду использовать свойство интеграла, которое позволяет вычислить площадь под кривой как разность первообразных функций на заданном интервале. Вот подробный ответ:

- Сначала нужно найти точки пересечения графика функции y = 1 + x^2 и прямой y - 2 = 0. Для этого нужно решить уравнение 1 + x^2 = 2, откуда получаем x = ±1. - Затем нужно определить, какая из функций находится выше на интервале [-1, 1]. Для этого достаточно подставить любое значение x из этого интервала в обе функции и сравнить их значения. Например, при x = 0 имеем y = 1 + 0^2 = 1 для параболы и y - 2 = 0 - 2 = -2 для прямой. Значит, парабола находится выше прямой на всем интервале [-1, 1]. - Тогда площадь фигуры равна интегралу от разности функций на интервале [-1, 1], то есть:

$$S = \int_{-1}^{1} (1 + x^2 - 2) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx$$

- Чтобы вычислить этот интеграл, нужно найти первообразную функции x^2 - 1, то есть такую функцию F(x), что F'(x) = x^2 - 1. Одна из таких функций это F(x) = x^3/3 - x. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

$$S = F(1) - F(-1) = \frac{1^3}{3} - 1 - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)\right) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$

- Ответ: площадь фигуры равна 4/3.

Вы можете посмотреть график функций и фигуры на сайте [1](https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/area/) или [2](https://allcalc.ru/node/673). Там же вы можете проверить правильность вычисления интеграла. Надеюсь, что мой ответ был полезен и понятен. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад помочь.