Question

(inx/x)2 dx найти неизвестный интеграл методом интегрирования за частицами

Answer 1

Ищем такой неопределённый интеграл $\int\limits (\frac{lnx}{x})^{2} \, dx$
Действительно, интегрировать нужно по частям по такой формуле:
$\int\limits u \, dv =uv- \int\limits v \, du$

Итак, пусть $u=ln^{2} x$, $dv= \frac{dx}{ x^{2} }$
Тогда $du= \frac{2lnx}{x}dx$, $v=- \frac{1}{x}$

Наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, превращается в такой
$- \frac{ln^{2}x}{x}-\int\limits {(-\frac{1}{x})* \frac{2lnx}{x}}\, dx =- \frac{ln^{2}x}{x}+\int\limits { \frac{2lnx}{ x^{2} }}\, dx$

Придётся ещё раз применить метод интегрирования по частям.
Пусть $u=lnx; dv= \frac{dx}{ x^{2}}$
Тогда $du= \frac{dx}{x}; v=- \frac{1}{x}$

И наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, приобретает вид:
$- \frac{ln^{2}x}{x}+\int\limits { \frac{2lnx}{ x^{2} }}\, dx=-\frac{ln^{2}x}{x}+2(- \frac{lnx}{x} -\int\limits { (-\frac{1}{x})* \frac{1}{x}}\, dx)=$
$=-\frac{ln^{2}x}{x}-2* \frac{lnx}{x}+2*\int\limits {\frac{1}{ x^{2} }}\, dx=-\frac{ln^{2}x}{x}-2* \frac{lnx}{x}-2* \frac{1}{x} +C$

Answer 2

Для нахождения неизвестного интеграла методом интегрирования по частям, нам нужно использовать формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = u v - ∫ v du

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, у нас есть интеграл ∫ (inx/x)² dx. Давайте применим метод интегрирования по частям к этому интегралу.

Шаг 1:

Выберем u и dv: u = (inx/x)² dv = dx

Шаг 2:

Вычислим du и v: Чтобы найти du, продифференцируем u: du = d((inx/x)²) = 2(inx/x) * d(inx/x) = 2(inx/x) * (d(inx) - d(x))/x = 2(inx/x) * (ndx - x * dx)/x = 2(inx/x) * (ndx - x² * dx)/x = 2in * dx - 2x * dx = 2in * dx - 2x² * dx

Чтобы найти v, проинтегрируем dv: v = ∫ dx = x

Шаг 3:

Подставим значения u, du, v и dv в формулу интегрирования по частям: ∫ (inx/x)² dx = u * v - ∫ v * du ∫ (inx/x)² dx = (inx/x)² * x - ∫ x * (2in * dx - 2x² * dx)

Шаг 4:

Упростим полученное выражение: ∫ (inx/x)² dx = in²x - 2∫ inx dx + 2∫ x³ dx

Шаг 5:

Вычислим интегралы ∫ inx dx и ∫ x³ dx: ∫ inx dx = (in * x)/n + C₁, где C₁ - произвольная постоянная ∫ x³ dx = (x⁴)/4 + C₂, где C₂ - произвольная постоянная

Шаг 6:

Подставим значения интегралов в полученное выражение: ∫ (inx/x)² dx = in²x - 2((in * x)/n + C₁) + 2((x⁴)/4 + C₂)

Шаг 7:

Упростим полученное выражение: ∫ (inx/x)² dx = in²x - 2(in * x)/n - 2C₁ + x⁴/2 + 2C₂

Таким образом, неизвестный интеграл ∫ (inx/x)² dx равен in²x - 2(in * x)/n - 2C₁ + x⁴/2 + 2C₂, где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение было получено с использованием метода интегрирования по частям и может быть проверено математическими программами или другими методами для подтверждения его правильности.