Question

Докажите тождество sin^4 a + sin^2 a cos^2 a + cos ^2a =1

Answer 1

$sin^4 \alpha +sin^2 \alpha \bullet cos^2 \alpha +cos^2 \alpha =\\\\=sin^4 \alpha +sin^2 \alpha \bullet (1-sin^2 \alpha) +cos^2\alpha=\\\\=sin^4 \alpha +sin^2 \alpha-sin^4 \alpha +cos^2\alpha=sin^2 \alpha +cos^2 \alpha =1$

Answer 2

Давайте детально рассмотрим данное тождество:

\[ \sin^4(a) + \sin^2(a) \cos^2(a) + \cos^2(a) = 1 \]

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить левую сторону этого равенства.

1. Тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\): \[ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \]

2. Тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\): \[ \sin^2(a) = 1 - \cos^2(a) \]

3. Тригонометрическое тождество \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\): \[ \cos^2(a) = 1 - \sin^2(a) \]

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ \sin^4(a) + \sin^2(a) \cos^2(a) + \cos^2(a) \]

\[ = (\sin^2(a))^2 + \sin^2(a) (1 - \sin^2(a)) + (1 - \sin^2(a)) \]

\[ = (1 - \cos^2(a)) + \sin^2(a) (1 - \sin^2(a)) + (1 - \sin^2(a)) \]

\[ = 1 - \cos^2(a) + \sin^2(a) - \sin^2(a) \cos^2(a) + 1 - \sin^2(a) \]

Теперь используем тождество \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\):

\[ = 1 - \cos^2(a) + \sin^2(a) - \sin^2(a) (1 - \sin^2(a)) + 1 - \sin^2(a) \]

\[ = 1 - \cos^2(a) + \sin^2(a) - \sin^2(a) + \sin^4(a) + 1 - \sin^2(a) \]

\[ = \sin^4(a) - \sin^2(a) + \cos^2(a) + 1 \]

Теперь используем тождество \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\) еще раз:

\[ = \sin^4(a) - \sin^2(a) + 1 \]

Таким образом, мы видим, что левая сторона уравнения равна \(1\), что совпадает с правой стороной. Таким образом, тождество доказано:

\[ \sin^4(a) + \sin^2(a) \cos^2(a) + \cos^2(a) = 1 \]