Question

решите,пожалуйста) 4sin2xcos2x=1

Answer 1

4sin2xcos2x=1
sin4x=1
4x=πn, n∈z 
x=(πn)/4, n∈z

Answer 2

Для решения уравнения 4sin^2(x)cos^2(x) = 1, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Применение тригонометрических тождеств

Мы знаем следующие тригонометрические тождества:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x) 3. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Решение уравнения

Давайте заменим sin^2(x) и cos^2(x) в исходном уравнении, используя тождества:

4sin^2(x)cos^2(x) = 1 4(1 - cos^2(x))(cos^2(x)) = 1 4cos^2(x) - 4cos^4(x) = 1

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos^2(x):

4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1 = 0

Это уравнение можно решить с помощью различных методов, например, методом подстановки или квадратного трехчлена. Давайте воспользуемся методом подстановки. Пусть z = cos^2(x), тогда уравнение примет вид:

4z^2 - 4z + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или метода завершения квадрата. Выполняя расчеты, мы получаем два возможных значения для z:

z = (4 ± √12) / 8

z1 = (4 + √12) / 8 ≈ 0.8536 z2 = (4 - √12) / 8 ≈ 0.1464

Нахождение значений x

Теперь, зная значения z, мы можем найти значения cos^2(x) и, следовательно, значения x. Для этого мы применим обратные тригонометрические функции.

1. Для z1 = 0.8536:

cos^2(x) = z1 cos(x) = ±√z1 x = ±arccos(√z1)

2. Для z2 = 0.1464:

cos^2(x) = z2 cos(x) = ±√z2 x = ±arccos(√z2)

Обратите внимание, что мы получили четыре возможных значения для x из-за знаков ± в каждом шаге.

Вычислив значения arccos для каждого из z1 и z2, мы получим четыре возможных значения для x:

x1 ≈ arccos(√0.8536) x2 ≈ -arccos(√0.8536) x3 ≈ arccos(√0.1464) x4 ≈ -arccos(√0.1464)

Таким образом, решение уравнения 4sin^2(x)cos^2(x) = 1 имеет четыре возможных значения для x: x1, x2, x3 и x4.

Пожалуйста, обратите внимание, что значения sin(x) также могут быть найдены, используя значения cos(x), зная тригонометрические тождества sin(x) = ±√(1 - cos^2(x)).