Question

упростить выражение: ( cos π/12 - sin π/12) * ( cosπ/12 + sin π/12 )

Answer 1

формула разности квадратов, сворачиваем ( cos^2( π/12) - sin^2( π/12))

формула двойного угла косинуса, сворачиваем cos2*( π/12) = cos( π/6) = корень из 3 деленное на 2

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение и упростим его:

\[ (\cos{\frac{\pi}{12}} - \sin{\frac{\pi}{12}}) \cdot (\cos{\frac{\pi}{12}} + \sin{\frac{\pi}{12}}) \]

Для упрощения умножения двух биномов, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

\[ a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b) \]

В данном случае, у нас есть выражение \( (\cos{\frac{\pi}{12}} - \sin{\frac{\pi}{12}}) \) и \( (\cos{\frac{\pi}{12}} + \sin{\frac{\pi}{12}}) \), похожие на \( a \) и \( b \) в формуле разности квадратов.

Обозначим:

\[ a = \cos{\frac{\pi}{12}} \] \[ b = \sin{\frac{\pi}{12}} \]

Тогда наше выражение примет вид:

\[ (a - b) \cdot (a + b) \]

И теперь мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

\[ (a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2 \]

Теперь подставим обратно значения \( a \) и \( b \):

\[ (\cos{\frac{\pi}{12}} - \sin{\frac{\pi}{12}}) \cdot (\cos{\frac{\pi}{12}} + \sin{\frac{\pi}{12}}) = \cos^2{\frac{\pi}{12}} - \sin^2{\frac{\pi}{12}} \]

Теперь вспомним тригонометрическую тождественность:

\[ \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} = \cos{2\theta} \]

Подставим \( \theta = \frac{\pi}{12} \):

\[ \cos^2{\frac{\pi}{12}} - \sin^2{\frac{\pi}{12}} = \cos{\frac{\pi}{6}} \]

Таким образом, упрощенное выражение:

\[ (\cos{\frac{\pi}{12}} - \sin{\frac{\pi}{12}}) \cdot (\cos{\frac{\pi}{12}} + \sin{\frac{\pi}{12}}) = \cos{\frac{\pi}{6}} \]