Question

Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 42. Если из первого числа вычесть 1, второе оставить без изменения, а из третьего вычесть 17, то полученные числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Answer 1

А б с - начальные числа
1) разберемся с арифметической последовательностью сначала
а-1 б с-17 - арифметическая последовательность, а значит
б=((а-1)+(с-17))/2
б=(а+с)/2-9
2)сумма равна 42
a+б+с=42
1,5(а+с)-9=42
а+с=51/1,5=34
б=34/2-9=17-9=8
3) геометрическая прогрессия
б²=ас
ас=64
4)
$\left \{ {{a+c=34} \atop {ac=64}} \right.$
а=2 с=32
а=32 с=34
Ответ: две тройки чисел (2;8;32) (32;8;2)

Answer 2

Обозначим исходные числа геометрической прогрессии через \(a, ar\) и \(ar^2\), где \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - её знаменатель. Тогда сумма этих чисел равна 42:

\[a + ar + ar^2 = 42\]

Теперь мы можем составить уравнение для арифметической прогрессии, полученной из исходной. Если из первого числа вычесть 1, второе оставить без изменения, а из третьего вычесть 17, то получатся числа арифметической прогрессии:

\[(a - 1), ar, (ar^2 - 17)\]

Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, то разность между любыми двумя последовательными членами будет одинаковой. Таким образом, мы можем записать уравнение для арифметической прогрессии:

\[(ar - (a - 1)) = ((ar^2 - 17) - ar)\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[1. \quad a + ar + ar^2 = 42\] \[2. \quad ar - (a - 1) = (ar^2 - 17) - ar\]

Давайте решим эту систему уравнений. Выразим \(a\) из первого уравнения:

\[a(1 + r + r^2) = 42\]

Теперь подставим это выражение для \(a\) во второе уравнение:

\[ar - (a - 1) = (ar^2 - 17) - ar\]

\[ar - a + 1 = ar^2 - 17 - ar\]

Теперь подставим выражение для \(a(1 + r + r^2)\) в уравнение выше:

\[r(a(1 + r + r^2)) - a + 1 = ar^2 - 17 - r(a(1 + r + r^2))\]

Раскроем скобки:

\[ar + ar^2 + ar^3 - a + 1 = ar^2 - 17 - ar - ar^2 - ar^3\]

Сократим некоторые члены:

\[2ar + 2ar^2 + 2ar^3 - a + 1 = -17\]

Теперь приведем все члены к одной стороне уравнения:

\[2ar + 2ar^2 + 2ar^3 - a + 1 + 17 = 0\]

\[2ar^3 + 2ar^2 + 2ar - a + 18 = 0\]

Теперь у нас есть кубическое уравнение относительно \(r\). Решив его, мы сможем найти значения \(a\) и \(r\), а затем найти исходные числа.