Question

2cos2x/2 - cos x/2 -1 =0

Answer 1

$2cos^2(x/2)-cos(x/2)-1=0\\a=cos(x/2)\\\\2a^2-a-1=0\\D=(-1)^2-4*2*(-1)=1+8=9=3^2\\a_1=(1+3)/(2*2)=4/4=1\\a_2=(1-3)/(2*2)=-2/4=-1/2\\\\cos(x/2)=1\\x/2=2 \pi n, n\in Z\\x_1=4 \pi n, n\in Z\\\\cos(x/2)=-1/2\\x/2=б( \pi - \pi/3)+2 \pi n, n\in Z\\x_2=б4 \pi /3+4 \pi n, n\in Z$

Answer 2

Чтобы решить уравнение \( \frac{2\cos(2x)}{2} - \frac{\cos(x)}{2} - 1 = 0 \), давайте приведем его к более простому виду и найдем значения \( x \).

1. Упрощение уравнения: \[ \cos(2x) - \frac{\cos(x)}{2} - 1 = 0 \]

2. Воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Теперь подставим это выражение в уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 - \frac{\cos(x)}{2} - 1 = 0 \]

3. Приведем все члены к общему знаменателю и упростим: \[ 4\cos^2(x) - 2\cos(x) - 3 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение: \[ \cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} \] \[ \cos(x) = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} \] \[ \cos(x) = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4} \]

5. Теперь найдем значения \( x \): \[ x = \cos^{-1}\left(\frac{1 + \sqrt{13}}{4}\right) \] \[ x = \cos^{-1}\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{4}\right) \]

6. Окончательные ответы: \[ x = \cos^{-1}\left(\frac{1 + \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi n, \] \[ x = \cos^{-1}\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi n, \] где \( n \) - любое целое число.

Это общее решение уравнения. Важно помнить, что арккосинус возвращает значения в диапазоне от 0 до \( \pi \), поэтому для получения всех возможных решений мы добавляем \( 2\pi n \), где \( n \) - целое число.